有限体上简单根循环码的非零权重数的新上界

Core Concepts

本文通过计算生成群G′′的轨道数，为简单根λ-循环码C的非零权重数给出了一个明确的上界，并给出了C达到此上界的必要和充分条件。

Abstract

本文研究了简单根λ-循环码C的非零权重数的上界问题。作者首先观察到对于任何简单根λ-循环码C,由乘子μq、λ-循环移位和标量乘法生成的群G′′是C的自同构群Aut(C)的最大子群。通过计算G′′对C{0}的轨道数,作者给出了C的非零权重数的一个明确的上界,并给出了C达到此上界的必要和充分条件。 作者还讨论了两类特殊的循环码,通过用更大的子群替换G′′,得到了这些码的非零权重数的更小的上界。这些结果改进并推广了之前的一些结果。特别地,作者的主要结果提供了一种构造少权重循环码的新方法。

Stats

对于任意简单根λ-循环码C,由乘子μq、λ-循环移位和标量乘法生成的群G′′是C的自同构群Aut(C)的最大子群。 对于一个[n,k]不可约λ-循环码C,其生成幂等元对应于q-循环余类Γt={1+rat,(1+rat)q,...,(1+rat)qk-1},其⟨μq,ρ,σξ⟩-轨道数为 1 k Σh|k ϕ(k/h)gcd((qh-1),(qk-1)/(q-1),(1+rat)(qk-1)/rn)。 对于两类特殊的循环码,通过用更大的子群替换G′′,可以得到这些码的非零权重数的更小的上界。

Quotes

无

Key Insights Distilled From

New upper bounds on the number of non-zero weights of constacyclic codes

by Li Chen,Yuqi... at arxiv.org 05-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2405.00309.pdf

Deeper Inquiries

如何进一步推广本文的结果,适用于更广泛的循环码类型

本文中使用的方法可以进一步推广到其他循环码类型，如简单根循环码、重复根循环码等。对于不同类型的循环码，我们可以根据其特定的生成元和自同构群来计算非零权重的上界。通过类似的群作用和轨道计数的方法，我们可以推广本文的结果，适用于更广泛的循环码结构。

本文的方法是否可以应用于其他编码理论问题,如构造具有特殊性质的循环码

本文的方法可以应用于其他编码理论问题，特别是在构造具有特殊性质的循环码方面。通过计算自同构群的不同子群的轨道数量，我们可以设计出具有特定权重分布的循环码。这种方法可以用于构造低权重循环码，这在一些应用中非常重要，如密钥共享、认证码等领域。

循环码的非零权重数与其他编码理论参数,如最小距离、正交阵列和组合设计等之间的关系是什么

循环码的非零权重数与其他编码理论参数之间有着密切的关系。例如，最小距离与非零权重数之间存在着一定的联系，通常最小距离越大，非零权重数越少。此外，循环码的权重分布也与正交阵列和组合设计等参数有关。通过研究循环码的权重分布，我们可以推断其在正交阵列和组合设计中的应用情况，从而更好地理解编码理论中不同参数之间的相互关系。