利用多項式重新審視樹規範化

Core Concepts

本文提出了一種基於多項式的新型對數空間樹規範化確定性演算法，該演算法比 Lindell 的演算法更簡單且更具概念性，並可適應其他樹狀圖類。

Abstract

利用多項式重新審視樹規範化

本文提出了一種基於多項式的樹規範化對數空間演算法，該演算法與 Lindell 的演算法有著根本上的不同。我們的演算法基於經典的 Eisenstein 不可約性準則，計算單變數多項式作為輸入樹的規範形式。通過調用著名的 Buss 等人的算術公式求值演算法，這可以在對數空間中實現。然而，我們在附錄中包含了一個更簡單的獨立證明，證明了算術公式求值在對數空間中。
與 Lindell 演算法的核心組成部分——精細的案例分析和複雜的遞迴相比，該演算法在概念上非常簡單。我們通過將演算法擴展到其他幾類圖表來說明其適應性。

圖同構是一個經典且難解的電腦科學問題。一方面，目前還沒有已知的多項式時間演算法可以解決這個問題（目前最好的演算法是 Babai 的擬多項式時間演算法 [4]）。另一方面，甚至還沒有已知的 P-hardness 結果（我們所知的最佳硬度結果是 Tor´an [18] 的 DET-hardness）。
對於某些圖類，上下界之間的複雜性差距已經被彌合。樹 [14]、平面圖 [7]、區間圖 [12] 和有界樹寬圖 [10] 都是眾所周知的圖類，它們具有匹配的對數空間上下界（複雜度類 L）。這些圖類的對數空間演算法關鍵是使用 Lindell 的對數空間樹規範化演算法 [14] 作為子程序。這裡的規範化是指給定一個目標類別（例如樹）中的圖 G，創建一個字符串 τ(G)，使得當且僅當對應的字符串相同時，目標圖類別中的兩個圖是同構的。該演算法通過複雜（且巧妙！）的遞迴工作。
Miller 和 Reif 的簡單並行演算法 [15] 是一種完全不同的樹同構演算法。它通過將問題簡化為多項式恆等式檢驗來工作。對於給定的根樹 T，它們獲得了一個算術公式 ΦT，該公式計算一個 d 元多變數多項式 pT，其中 d 是 T 的深度。當且僅當 pT 和 pT' 是相同的多項式時，根樹 T 和 T' 是同構的。如果樹不同構，則將小的隨機值代入兩個算術公式中的變量會產生不同的值，並且概率很高（根據多項式恆等式引理 [8, 17, 19]）。該證明關鍵是利用了以任意頂點為根的樹的每個子樹的不可約多變數多項式的遞迴構造。從某種意義上說，Miller-Reif 演算法 [15] 以複雜性和確定性換取了 Lindell 演算法的簡單性。
在這篇筆記中，我們證明了我們不需要為了實現樹規範化的簡單性而放棄複雜性或確定性。也就是說，我們基於 Miller-Reif 方法獲得了一種新的樹規範化確定性對數空間演算法。主要思想是用單個變量替換多個變量，同時保留以頂點為根的子樹對應的單變數多項式的不可約性。同時，多項式的次數仍然受樹的大小限制。因此，單變數多項式本身就構成了樹的規範形式。由於次數是有界的，並且我們可以使用算術公式求值 [6, 11] 來顯式計算多項式，其中係數列表可以解釋為規範形式。這與 Miller-Reif 多變數多項式 pT（對應於樹 T）形成對比，後者需要太多係數才能作為規範形式。
一方面，我們的方法可以看作是對 Miller-Reif 方法的完全去隨機化；另一方面，它在概念上非常簡單，多項式求值的細節被吸收到了求值算術公式的演算法中 [6]，如果需要，還可以吸收高效的單變數多項式插值 [11]。最後一點是從其求值中插值樹規範多項式所必需的。或者，多項式在次數加一處的求值本身就可以作為規範形式。
我們的方法為 Lindell 的結果提供了一個新的證明，該證明可以說是更簡單、更具概念性。它也適用於其他樹狀圖類。
我們將通過標記樹（塊樹就是一個具體的例子）和 k-樹（樹寬為 k 的圖的特例）來說明這一點。

Key Insights Distilled From

Revisiting Tree Canonization using polynomials

by V. Arvind, S... at arxiv.org 11-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2408.10338.pdf

Deeper Inquiries

這篇論文的主要貢獻是什麼？與先前方法相比，它有何優點？

這篇論文提出了一種基於多項式的新方法來進行樹正則化，進而解決了樹同構問題。其主要貢獻在於：

概念簡單： 與 Lindell 複雜的遞迴演算法相比，此方法更為簡潔易懂。它將樹轉換為單變數多項式，並利用 Eisenstein 不可約性準則來確保正則形式的唯一性。
確定性對數空間複雜度： 此演算法在確定性對數空間中運行，與 Lindell 演算法的複雜度相匹配。
基於 Miller-Reif 方法的完全去隨機化： Miller-Reif 方法使用多變數多項式並依賴隨機性來進行多項式恆等性測試。此方法通過使用單變數多項式和算術公式求值來完全去隨機化 Miller-Reif 方法。
適用於其他圖類： 此方法可以擴展到其他樹狀圖類，例如標記樹、區塊圖和 k-樹。
與先前方法相比，此方法的優點在於其概念簡單性、確定性對數空間複雜度以及適用於其他圖類的靈活性。

解釋 Eisenstein 不可約性準則如何應用於樹正則化。

Eisenstein 不可約性準則是判斷單變數多項式是否可約的重要工具。此論文巧妙地將其應用於樹正則化，確保了正則形式的唯一性。
具體而言，對於每個節點 v，論文定義了一個單變數多項式 Cv(x)。通過構造 Cv(x) 的係數，使其滿足 Eisenstein 不可約性準則的條件，即存在一個質數 p，使得：

p 不整除 Cv(x) 的最高次項係數。
p 整除 Cv(x) 的所有其他係數。
p² 不整除 Cv(x) 的常數項。

根據 Eisenstein 準則，滿足上述條件的 Cv(x) 在有理數域上不可約。這意味著 Cv(x) 不能被分解為兩個非常數多項式的乘積。
由於每個節點的多項式都不可約，因此可以通過唯一分解定理將樹的根節點多項式分解為子樹多項式的乘積。這種唯一分解性確保了樹正則形式的唯一性，即同構的樹具有相同的正則形式。

論文中提到了哪些未來的研究方向？

論文指出了幾個有趣的研究方向：

將此方法推廣到具有正則樹分解的圖類： 論文中展示了該方法在區塊圖和 k-樹上的應用。探索將其應用於其他具有正則樹分解的圖類，例如平面圖和區間圖，將是一個有趣的研究方向。
探索基於多項式的正則化方法的更多應用： 此論文為圖正則化提供了一種新的基於多項式的方法。探索這種方法在其他圖論問題中的應用，例如子圖同構和圖匹配，將會很有意義。
進一步簡化算術公式求值演算法： 儘管論文中提到了算術公式求值可以在對數空間中完成，但更簡單、更直接的證明將進一步增強該方法的優雅性。