Neue Familien von selbstorthogonalen Codes aus vektoriellen dual-gebogenen Funktionen

Core Concepts

In dieser Arbeit werden neue Familien von q-ären selbstorthogonalen Codes unter Verwendung von vektoriellen dual-gebogenen Funktionen mit bestimmten Bedingungen konstruiert. Einige Klassen von mindestens fast optimalen linearen Codes werden aus den Dualcodes der konstruierten selbstorthogonalen Codes erhalten.

Abstract

In dieser Arbeit werden neue Familien von q-ären selbstorthogonalen Codes unter Verwendung von vektoriellen dual-gebogenen Funktionen mit bestimmten Bedingungen konstruiert. Zunächst werden einige nützliche Lemmata bewiesen, die die Eigenschaften der vektoriellen dual-gebogenen Funktionen und der daraus konstruierten selbstorthogonalen Codes beschreiben. Es wird gezeigt, dass die konstruierten selbstorthogonalen Codes höchstens fünf verschiedene Gewichte haben und ihre Gewichtsverteilung vollständig bestimmt werden kann. Anschließend werden explizite Klassen von vektoriellen dual-gebogenen Funktionen angegeben, die die geforderten Bedingungen erfüllen. Aus diesen Funktionen werden selbstorthogonale Codes konstruiert, deren Dualcodes mindestens fast optimal sind. Darüber hinaus werden basierend auf den konstruierten selbstorthogonalen Codes neue unendliche Familien von q-ären LCD-Codes und Quantencodes erhalten, die ebenfalls mindestens fast optimal sind.

Stats

Die Länge des Dualcodes C⊥ DF,I beträgt (pn−m − εpn/2−m)|I| + εpn/2δI(F(0)). Die Dimension von C⊥ DF,I beträgt (pn−m − εpn/2−m)|I| + εpn/2δI(F(0)) - n/t - 1. Der Mindestabstand d(C⊥ DF,I) ist größer oder gleich 3.

Quotes

"In dieser Arbeit konstruieren wir neue Familien von q-ären selbstorthogonalen Codes unter Verwendung von vektoriellen dual-gebogenen Funktionen mit bestimmten Bedingungen." "Einige Klassen von mindestens fast optimalen linearen Codes werden aus den Dualcodes der konstruierten selbstorthogonalen Codes erhalten."

Key Insights Distilled From

Self-Orthogonal Codes from Vectorial Dual-Bent Functions

by Jiaxin Wang,... at arxiv.org 03-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.12578.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die Konstruktionsmethoden auf andere Klassen von Funktionen wie fast perfekt nichtlineare Funktionen oder p-ary plateauierte Funktionen erweitert werden, um weitere Familien von selbstorthogonalen Codes zu erhalten

Um die Konstruktionsmethoden auf andere Klassen von Funktionen wie fast perfekt nichtlineare Funktionen oder p-ary plateauierte Funktionen zu erweitern, um weitere Familien von selbstorthogonalen Codes zu erhalten, könnten verschiedene Ansätze verfolgt werden. Fast Perfekt Nichtlineare Funktionen: Diese Funktionen könnten als Ausgangspunkt genommen werden, um selbstorthogonale Codes zu konstruieren. Durch die Anpassung der Konstruktionsmethoden, um die Eigenschaften dieser Funktionen zu berücksichtigen, könnten neue Familien von Codes entstehen. P-ary Plateauierte Funktionen: Ähnlich wie bei den bent-Funktionen könnten plateauierte Funktionen genutzt werden, um selbstorthogonale Codes zu generieren. Durch die Anpassung der Konstruktionsverfahren, um die spezifischen Eigenschaften dieser Funktionen zu berücksichtigen, könnten weitere Klassen von Codes entstehen. Durch die Erweiterung der Konstruktionsmethoden auf diese verschiedenen Funktionen könnten neue Möglichkeiten zur Generierung von selbstorthogonalen Codes erschlossen werden, die verschiedene Anwendungen in der Codierungstheorie und anderen Bereichen haben könnten.

Welche Anwendungen der konstruierten selbstorthogonalen Codes in anderen Bereichen wie der Kryptographie oder der Quanteninformationstheorie sind denkbar

Die konstruierten selbstorthogonalen Codes könnten in verschiedenen Bereichen Anwendungen finden, darunter: Kryptographie: Selbstorthogonale Codes spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie, insbesondere bei der Fehlererkennung und -korrektur. Die Verwendung dieser Codes könnte die Sicherheit von Übertragungen und Datenübertragungen verbessern. Quanteninformationstheorie: In der Quanteninformationstheorie könnten selbstorthogonale Codes zur Fehlerkorrektur in quantenbasierten Systemen eingesetzt werden. Diese Codes könnten dazu beitragen, die Zuverlässigkeit von Quantencomputern und Quantenkommunikationssystemen zu verbessern. Durch die Anwendung der konstruierten selbstorthogonalen Codes in diesen Bereichen könnten neue Möglichkeiten zur Verbesserung von Sicherheit, Zuverlässigkeit und Effizienz geschaffen werden.

Lassen sich die Ergebnisse auf den Fall verallgemeinern, in dem die vektoriellen dual-gebogenen Funktionen nicht die geforderten Bedingungen erfüllen

Die Ergebnisse könnten auf den Fall verallgemeinert werden, in dem die vektoriellen dual-gebogenen Funktionen nicht die geforderten Bedingungen erfüllen, indem verschiedene Anpassungen und Erweiterungen vorgenommen werden. Erweiterung der Bedingungen: Es könnten neue Kriterien oder Anforderungen definiert werden, die es ermöglichen, auch Funktionen, die nicht vollständig den ursprünglichen Bedingungen entsprechen, zu verwenden. Anpassung der Konstruktionsmethoden: Durch die Anpassung der Konstruktionsmethoden und Algorithmen könnten auch Funktionen, die nur teilweise den Bedingungen entsprechen, genutzt werden, um selbstorthogonale Codes zu generieren. Durch Flexibilität und Anpassungsfähigkeit könnten die Ergebnisse auf eine breitere Palette von Funktionen angewendet werden, um die Konstruktion von selbstorthogonalen Codes zu ermöglichen.