Core Concepts
Das Zählen von Sternen ist der optimale konstant-gradige Polynomtest zum Erkennen jedes gepflanzten Teilgraphen.
Abstract
Die Studie untersucht die Grenzen der Rechenleistung für das allgemeine Hypothesentestproblem, bei dem das Ziel ist, zwischen einem "Null"-Erdős-Rényi-Zufallsgraphen und einem "gepflanzten" Zufallsgraphen zu unterscheiden, der die Vereinigung des Null-Graphen mit einer zufälligen Kopie eines beliebigen Teilgraphen H ist.
Die Hauptergebnisse sind:
Für alle Wahl von H und für jedes p = Ω(1) ist das optimale konstant-gradige Polynom immer gegeben durch das Zählen von t-Sternen im Eingabegraphen für ein 1 ≤ t ≤ D. Das bedeutet, ein konstant-gradiges Polynom kann genau dann stark trennen, wenn für ein 1 ≤ t ≤ D das Polynom, das t-Sterne zählt, dies auch tut.
Eine Momentenanalyse der Stern-Zählpolynome zusammen mit dem Hauptergebnis impliziert, dass der Erfolg konstant-gradiger Polynome allein von der Gradverteilung des gepflanzten H abhängt. Für zwei Graphen H1 und H2 mit der gleichen Gradverteilung können konstant-gradige Polynome entweder für beide Erkennungsaufgaben erfolgreich sein oder für beide versagen.
Die Ergebnisse werden verwendet, um eine Reihe alter und neuer Resultate über niedrig-gradige Polynome für gepflanzte Erkennungsaufgaben herzuleiten.
Stats
Die Zahl der Kanten im gepflanzten Graphen H ist ω(n√(p/(1-p))).
Die maximale Gradverteilung des gepflanzten Graphen H ist Ω(√(n p/(1-p))).
Quotes
"Vielleicht überraschenderweise beweisen wir, dass das optimale konstant-gradige Polynom immer durch das einfache Zählen von Sternen im Eingabegraphen gegeben ist."
"Unsere Ergebnisse implizieren, dass der Erfolg konstant-gradiger Polynome allein von der Gradverteilung des gepflanzten H abhängt."