Der Quadratische Kemeny-Regel zur Durchschnittsbildung von Rankings

Core Concepts

Die Quadratische Kemeny-Regel ermöglicht eine proportionale Aggregation von Rankings, indem sie die Einflüsse der Eingaberankings entsprechend ihrer Gewichte berücksichtigt.

Abstract

Der Artikel untersucht die Quadratische Kemeny-Regel als Methode zur Aggregation mehrerer Rankings in ein Gesamtranking. Im Gegensatz zur klassischen Kemeny-Regel, die eine mehrheitliche Entscheidung trifft, verhält sich die Quadratische Kemeny-Regel proportional zu den Gewichten der Eingaberankings.

Der Artikel beginnt mit einer Einführung in das Rank-Aggregations-Problem und erläutert die Kemeny-Regel sowie die Quadratische Kemeny-Regel. Es wird gezeigt, dass die Quadratische Kemeny-Regel eine "proportionale" Aggregation der Eingaberankings vornimmt, d.h. der Einfluss jedes Rankings auf das Ergebnis ist proportional zu seinem Gewicht. Dies wird formal durch die Axiome der 2-Rankings-Proportionalität und der Single-Crossing-Proportionalität gefasst.

Anschließend wird die Quadratische Kemeny-Regel axiomatisch charakterisiert. Es wird gezeigt, dass sie die einzige Ranking-Scoring-Funktion ist, die Neutralität, Verstärkung, Stetigkeit und 2-Rankings-Proportionalität erfüllt. Darüber hinaus werden Garantien für die Proportionalität der Quadratischen Kemeny-Regel im Allgemeinen hergeleitet.

Abschließend werden empirische Analysen präsentiert, die das Verhalten der Quadratischen Kemeny-Regel im Vergleich zur klassischen Kemeny-Regel untersuchen. Dabei zeigt sich, dass die Quadratische Kemeny-Regel tatsächlich eine proportionale Aggregation vornimmt, während die Kemeny-Regel sich eher wie ein Median-Operator verhält.

Stats

Die Anzahl der Paare, in denen sich zwei Rankings unterscheiden (Swap-Distanz), ist höchstens 𝑚(𝑚−1)/2, wobei 𝑚 die Anzahl der Alternativen ist.
Die maximale normalisierte Swap-Distanz zwischen dem Ausgaberanking der Quadratischen Kemeny-Regel und einem Eingaberanking mit Gewicht 𝛼 ist näherungsweise linear in 𝛼, außer für kleine 𝛼.
Die durchschnittliche normalisierte Swap-Distanz zwischen dem Ausgaberanking der Quadratischen Kemeny-Regel und einer Gruppe von Eingaberankings mit Gesamtgewicht 𝛼 ist höchstens √1/(4𝛼) · 𝑚(𝑚−1)/2 + 𝑜(𝑚1.5).

Quotes

"Kemeny left the problem of which solution to choose unresolved. But from the standpoint of collective decision-making there is ample reason to prefer the median, since it turns out that the median consensus leads to a Condorcet method, while the mean does not."
"Proportionality can be seen as a fairness notion with respect to voters (who have a guaranteed amount of influence on the output ranking)."

Key Insights Distilled From

The Squared Kemeny Rule for Averaging Rankings

by Patr... at arxiv.org 04-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.08474.pdf

Deeper Inquiries

Wie könnte man die Quadratische Kemeny-Regel in der Praxis einsetzen, um die Bedürfnisse verschiedener Interessengruppen bei der Ranking-Aggregation zu berücksichtigen?

Die Quadratische Kemeny-Regel bietet eine Möglichkeit, verschiedene Interessengruppen bei der Ranking-Aggregation zu berücksichtigen, indem sie proportional zu ihren Gewichten einbezogen werden. Durch die Berücksichtigung der Gewichtung der einzelnen Rankings können die Bedürfnisse verschiedener Interessengruppen besser reflektiert werden.
In der Praxis könnte die Quadratische Kemeny-Regel beispielsweise in Situationen eingesetzt werden, in denen mehrere Kriterien oder Bewertungen in die Entscheidungsfindung einfließen. Indem den einzelnen Kriterien oder Bewertungen Gewichtungen zugeordnet werden, können die Interessengruppen ihre Prioritäten festlegen und die Aggregation der Rankings entsprechend anpassen. Dies ermöglicht eine fein abgestimmte und gerechte Berücksichtigung der verschiedenen Perspektiven und Bedürfnisse.

Welche Vor- und Nachteile hat die Quadratische Kemeny-Regel im Vergleich zu anderen Rank-Aggregations-Methoden, die auf Konzepten wie Mehrheitsentscheidungen oder Kompromissen basieren?

Die Quadratische Kemeny-Regel bietet einige Vor- und Nachteile im Vergleich zu anderen Rank-Aggregations-Methoden:
Vorteile:

Proportionalität: Die Quadratische Kemeny-Regel berücksichtigt die Gewichtung der einzelnen Rankings und ermöglicht eine proportionale Einbeziehung basierend auf den festgelegten Gewichten.
Feinabstimmung: Durch die Berücksichtigung der Gewichtungen können feinere Unterschiede und Prioritäten zwischen den Rankings herausgearbeitet werden.
Flexibilität: Die Regel ermöglicht es, die Aggregation von Rankings an die spezifischen Bedürfnisse und Gewichtungen der Interessengruppen anzupassen.
Nachteile:

Komplexität: Die Berechnung der Quadratischen Kemeny-Regel kann aufgrund der Berücksichtigung der quadratischen Distanzen zwischen Rankings komplexer sein als bei anderen Methoden.
Interpretation: Die Interpretation der Ergebnisse der Quadratischen Kemeny-Regel kann möglicherweise schwieriger sein, da die quadratischen Distanzen eine andere Metrik darstellen als einfache Swap-Distanzen.
Anfälligkeit für Ausreißer: Aufgrund der quadratischen Natur der Distanzen kann die Quadratische Kemeny-Regel empfindlicher auf Ausreißer in den Rankings reagieren.

Wie könnte man die Ideen der proportionalen Rank-Aggregation auf andere Probleme der kollektiven Entscheidungsfindung übertragen, z.B. auf Wahlsysteme oder Budgetverteilungen?

Die Ideen der proportionalen Rank-Aggregation können auf verschiedene Probleme der kollektiven Entscheidungsfindung übertragen werden, darunter auch auf Wahlsysteme und Budgetverteilungen. Hier sind einige Möglichkeiten, wie diese Ideen angewendet werden könnten:

Wahlsysteme: In Wahlsystemen könnten proportionalen Rank-Aggregationsmethoden verwendet werden, um die Präferenzen der Wähler in einer fairen und ausgewogenen Weise zu berücksichtigen. Indem die Gewichtungen der Wählerpräferenzen berücksichtigt werden, kann ein Wahlsystem entwickelt werden, das die Vielfalt der Meinungen und Interessen angemessen widerspiegelt.
Budgetverteilungen: Bei der Verteilung von Budgets oder Ressourcen können proportionalen Rank-Aggregationsmethoden helfen, die Prioritäten und Bedürfnisse verschiedener Stakeholder zu berücksichtigen. Durch die Gewichtung der Kriterien oder Faktoren, die bei der Budgetverteilung eine Rolle spielen, kann eine gerechtere und transparentere Entscheidungsfindung ermöglicht werden.
Durch die Anwendung der Ideen der proportionalen Rank-Aggregation auf diese Bereiche können kollektive Entscheidungsprozesse verbessert und gerechter gestaltet werden.