H部分グラフの禁止に関する複雑性フレームワーク II: 辺の細分化と「H」グラフ

Core Concepts

有限集合Hに対して、H部分グラフを含まないグラフクラスの問題の複雑性を分類する。特に、多項式時間解決可能な問題と、部分立方グラフ上でNP困難な問題の境界が、C123問題とC12問題で異なることを示す。

Abstract

本論文では、有限集合Hに対して、H部分グラフを含まないグラフクラスの問題の複雑性を分類する。 C123問題は、有界トリー幅のグラフクラスで多項式時間解決可能、部分立方グラフ上でNP困難、そして部分グラフの細分化に対してNP困難性が保存されるという3つの条件を満たす問題である。C123問題に対しては、H部分グラフを含まないグラフクラスの問題の完全な複雑性分類が可能である。 一方、C12問題は、C1とC2の条件は満たすが、C3の条件を満たさない問題である。本論文では、k-Induced Disjoint Paths、C5-Colouring、Hamilton Cycle、Star 3-Colouring といったC12問題について研究を行う。これらの問題では、C123問題とは異なり、H部分グラフを含まないグラフクラスにおける問題の複雑性分類が異なることを示す。 具体的には、k-Induced Disjoint PathsはH1-部分グラフ禁止クラスとH2-部分グラフ禁止クラスで多項式時間解決可能だが、H4以降の部分グラフ禁止クラスではNP困難となる。C5-Colouringはh3-部分グラフ禁止クラスで多項式時間解決可能だが、h1,h2 mod 3のクラスでNP困難となる。Hamilton Cycleはh1-部分グラフ禁止クラスで多項式時間解決可能である。Star 3-Colouringは(h1,h2,h3)-部分グラフ禁止クラスで多項式時間解決可能だが、h奇数のクラスでNP困難となる。 以上のように、C123問題とは異なり、C12問題では、H部分グラフを含まないグラフクラスにおける問題の複雑性分類が多様であることが示された。

Stats

なし

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

Complexity Framework for Forbidden Subgraphs II: Edge Subdivision and the "H"-graphs

by Vadim Lozin,... at arxiv.org 05-07-2024

https://arxiv.org/pdf/2211.14214.pdf

Deeper Inquiries

質問1

k-Induced Disjoint Pathsの問題がH3-部分グラフ禁止クラスでどのような複雑性を持つかを明らかにすることは重要な課題である。 回答1： 与えられたグラフGに対して、k個の相互に誘導されたパスP1、...、Pkが存在し、各Piがsi-tiパスであるかどうかを判定する問題であるk-Induced Disjoint Pathsは、H3-部分グラフ禁止クラスにおいて、複雑な振る舞いを示す可能性があります。この問題がH3-部分グラフ禁止クラスでNP困難であるかどうかを明らかにすることは、この問題の理解とグラフ理論における重要な進展となります。具体的には、H3-部分グラフ禁止クラスにおいて、k-Induced Disjoint Pathsが多項式時間で解決可能かどうか、またはNP困難であるかどうかを明らかにすることが重要です。

質問2

C5-Colouringの問題がH0 mod 3のクラスでどのような複雑性を持つかを明らかにすることは重要な課題である。 回答2： C5-Colouring問題がH0 mod 3のクラスでどのような複雑性を持つかを理解することは、グラフの色塗り問題における重要な課題です。特に、この問題がH0 mod 3のクラスでNP困難であるかどうかを明らかにすることは、その複雑性に関する理解を深める上で重要です。この問題の複雑性が明らかになれば、そのクラスにおける他の問題の複雑性にも示唆を与える可能性があります。

質問3

Star 3-Colouringの問題がH0 mod 2のクラスでどのような複雑性を持つかを明らかにすることは重要な課題である。 回答3： Star 3-Colouring問題がH0 mod 2のクラスでどのような複雑性を持つかを理解することは、グラフの色塗り問題における重要な研究課題です。特に、この問題がH0 mod 2のクラスでNP困難であるかどうかを明らかにすることは、その複雑性に関する理解を深める上で重要です。この問題の複雑性が明らかになれば、そのクラスにおける他の問題の複雑性にも示唆を与える可能性があります。