核心概念
本論文では、大規模な疎な連続時間代数リカッチ行列方程式の数値的低ランク解を計算するための効果的な低ランク交互方向倍加アルゴリズム(R-ADDA)を提案する。このアルゴリズムは交互方向倍加アルゴリズム(ADDA)に基づき、行列の低ランク性を活用し、Cholesky分解を用いて解く。新しいアルゴリズムの利点は、反復過程で2k次の近似のみを計算することで、メモリ使用量を大幅に削減し、計算効率を高めることにある。理論解析と数値実験により、新しいアルゴリズムの有効性を示す。
要約
本論文では、大規模な疎な連続時間代数リカッチ行列方程式を効率的に解くための低ランク交互方向倍加アルゴリズム(R-ADDA)を提案している。
まず、リカッチ方程式を行列ペンシルの双倍変換の形式に変換し、ADDA法の枠組みを導入する。次に、Q = CT C およびG = BBTの低ランク性を活用して、R-ADDAの反復フォーマットを導出する。これにより、各反復ステップでDkとPkの列数が指数関数的に増加するのを抑えることができ、メモリ使用量と計算コストを大幅に削減できる。
理論解析では、R-ADDAの構造保存性と収束性を示し、ADDA法との関係を明らかにする。数値実験では、大規模な問題に対してR-ADDAが従来のKleinman-Newton GADI法に比べて高い効率性を持つことを実証している。
統計
行列サイズnが大きくなるにつれ、R-ADDAの反復回数は4回と一定なのに対し、Kleinman-Newton GADI法の反復回数は7-10回と増加する。
n = 4096の場合、R-ADDAの計算時間は580.02秒なのに対し、Kleinman-Newton GADI法は3246.6秒と大幅に長い。
相対残差の収束曲線を見ると、R-ADDAの方が Kleinman-Newton GADI法に比べて収束が速い。