単位円上のヒルベルト変換の近似
本論文では、単位円上のヒルベルト変換の数値的近似を、Szegö公式とanti-Szegö公式を用いて行う。これらの方式は符号が逆の最大精度を持ち、その平均値を取ることで精度が向上する。これらの計算には、対応するパラ直交多項式に関連するフリーパラメータが関与する。ここでは、ヒルベルトカーネルの特異点から十分離れた節点を持つSzegö公式とanti-Szegö公式を構築するためにこのパラメータを適切に選択する。数値実験により、提案された方法の精度が実証される。
二次元対流拡散方程式に対するPhysics-Informed Neural Networkの変換
Physics-Informed Neural Networkを用いて、二次元対流拡散方程式の解を近似する際、入力変換を行うことで、より正確な近似解を得ることができる。
前向き後向き確率微分方程式を解くための新しい2次の1ステップスキーム
本論文では、前向き後向き確率微分方程式を解くための新しい2次の1ステップ数値スキームを提案する。このスキームは、予測子-修正子アプローチを用いて開発され、Yおよび Zに対して完全に陽解法である。提案手法は、安定性解析と誤差評価を通じて2次の収束性を達成することが示される。
複素座標変換を用いたディリクレ境界条件を持つヘルムホルツ方程式の解法
複素座標変換を用いることで、無限領域の問題を有限領域の問題に変換し、効率的に解くことができる。
対称正定値かつ共形な行列Aの数値的に安定な共形LLT分解
アルゴリズムW2は、より広い対称正定値行列クラスに対して数値的に安定であることを示す。一方、アルゴリズムW1は一般に不安定である。
多スケール放射輸送方程式の解法のための適応的角度圧縮スキーム
本論文は、多スケール放射輸送方程式を効率的に解くための適応的な角度圧縮スキームを提案する。このスキームは、局所的な光学特性に基づいて適応的に角度基底関数を選択することで、角度空間の低ランク構造を活用する。さらに、圧縮された解空間に対する詳細な a posteriori 誤差解析を行い、提案手法の精度と信頼性を検証する。
陰的オイラー法の微分逆の記号的分析
陰的オイラー法の微分逆を効率的に評価する3つのアプローチを提示し、その理論的な分析と実装を行う。
界面問題に対する特化型有限点演算子ネットワーク
界面問題を高精度に解くために、DeepONetと特化型有限点法を統合したTFPONetを提案する。TFPONetは特に特異摂動や高コントラストの界面問題に対して優れた性能を発揮する。
高精度な積分方程式の効率的な解法
ノイズの影響を受けた離散的な点評価データから、高精度な積分方程式の解を効率的に求める新しい手法を提案する。
ガウス・レジャンドル積分を用いた吸収境界条件によるヘルムホルツ方程式の解法
ガウス・レジャンドル積分を用いた新しい吸収境界条件を提案し、その性質を分析した。提案手法は既存の完全整合層離散化法を一般化したものであり、物理領域と人工領域の両方で高次有限要素法を用いることができる。
