核心概念
整数次ハンケル変換の数値積分のために、理論的保証付きの複素一般化ガウス・ラダウ数値積分法を構築した。また、この積分法に関連する直交多項式の存在性を証明した。
要約
本論文では、整数次ハンケル変換の数値積分のために、理論的保証付きの複素一般化ガウス・ラダウ数値積分法を提案した。
まず、オシレーティングな積分変換(ハンケル変換、フーリエ変換など)の積分経路を右半平面で回転する条件を示した。
次に、左端点の関数値と導関数の情報を加えることで、整数次ハンケル変換に対して複素一般化ガウス・ラダウ数値積分法を構築できることを示した。この積分法は理論的保証を持ち、最適な漸近誤差オーダーを達成する。
さらに、この積分法に関連する直交多項式の存在性を調べ、偶数次数では必ず存在し、奇数次数では条件付きで存在することを証明した。これらの多項式の根は虚軸上に位置し、実軸に関して対称である。
最後に、いくつかの数値実験を行い、提案した積分法の性能を確認した。特に、ある特殊な関数に対して、予想を超える高速な収束性を示す超収束現象を観察した。
統計
ω^(μ+1)Γ((ν+μ+1)/2)/Γ((ν-μ+1)/2)
2^μΓ((ν+μ+1)/2)/Γ((ν-μ+1)/2)/ω^(μ+1)
引用
"複素ガウス数値積分法は、漸近的に最適なオーダーを達成できるという魅力的な特徴を持つ。"
"しかし、ハンケル変換の場合、その次数が[0, 1/2]の範囲に限られる。"
"本研究では、整数次ハンケル変換に対する一般化ガウス・ラダウ数値積分法の構築を考える。"