本論文では、行列指数関数Φ(A)と関連する有限時間グラミアンG(A, B)の効率的な数値計算手法を提案している。
提案手法の主な特徴は以下の通り:
行列指数関数の計算と同様のスケーリングと二乗法のアプローチを一般化し、グラミアンの計算にも適用している。これにより、計算コストを抑えることができる。
厳密な後退誤差解析を行い、倍精度計算における丸め誤差レベルの精度を保証している。
提案手法をJuliaパッケージ"FiniteHorizonGramians.jl"として実装し、オープンソースで公開している。実験結果の再現コードも含まれている。
具体的な手順は以下の通り:
行列指数関数Φ(A)と有限時間グラミアンG(A, B)の双対的な漸化式を導出する。
初期近似値の構築には、シフトしたルジャンドル基底でのペトロフ・ガーキン法を用いる。これにより、対角パデ近似を得ることができる。
導出した漸化式と初期近似値を用いて、Φ(A)とU(A, B)(グラミアンのコレスキー因子)を効率的に計算する。
後退誤差解析により、提案手法が丸め誤差レベルの精度を持つことを示す。
数値実験により、提案手法の有効性を確認する。
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