準連接層に対するRoos公理の成立

Q: Roos公理は、他の圏、例えば準連接層の圏以外のアーベル圏に対しても成り立つのでしょうか？

はい、Roos公理は準連接層の圏以外のアーベル圏に対しても成り立ちます。Roos公理（AB4*-n）は、無限直積の導来関手のホモロジー次元が有限であることを主張する、アーベル圏に対する条件です。この公理は、準連接層の圏に限らず、無限直積と十分な単射的対象を持つ任意のアーベル圏に対して定式化できます。 実際、Roosの論文[31]では、準連接層の圏以外にも、以下のようなAB4*-nを満たすGrothendieck圏の例が挙げられています。 有限表現型の有限次元多元環上の有限生成加群の圏 局所ネーター環上のArtin加群の圏 さらに、Herbera, Pitsch, Saorín, Viriliらの論文[13]では、AB4*-nを満たすGrothendieck圏のクラスとして、Grothendieck圏の局所化やGrothendieck圏のフィルター付き余極限などが考察されています。

Q: Roos公理を満たさない準連接層の圏の例は存在するのでしょうか？

はい、Roos公理を満たさない準連接層の圏の例は存在します。 まず、無限直積が完全でない準連接層の圏はRoos公理を満たしません。 例えば、体 $k$ 上の射影直線 $\mathbb{P}^1_k$ 上の準連接層の圏は、無限直積が完全でないのでRoos公理を満たしません。これはKellerの反例として知られており、Krauseの論文[19, Example 4.9]で紹介されています。 より一般に、ネータースキーム$X$上に豊富な直線束の族が存在する場合、$X$上の準連接層の圏の無限直積が完全であることと、$X$がアフィンであることは同値です。 ([16, Theorem 1.1])。 したがって、アフィンでないネータースキームで、豊富な直線束の族が存在するものは、Roos公理を満たさない準連接層の圏の例となります。

Q: Roos公理は、代数幾何学における他の問題、例えば連接層の研究に応用できるのでしょうか？

はい、Roos公理は連接層の研究を含む、代数幾何学における他の問題に応用することができます。 Roos公理の重要な応用の一つとして、逆極限関手の導来関手のホモロジー次元評価が挙げられます。 Roosの論文[31, Theorem 2.1]では、AB4*-nを満たすGrothendieck圏において、対象の列の逆極限関手の導来関手のホモロジー次元は高々n+1であることが示されています。これは、連接層の圏を含む、様々なGrothendieck圏における逆極限の振る舞いを理解する上で重要な結果です。 また、Herbera, Pitsch, Saorín, Viriliらの論文[13]では、AB4*-nを満たすアーベル圏において、複体のホモトピー単射的分解を具体的に構成する方法が示されています。これは、Cartan-EilenbergやSpaltensteinに遡る古典的な構成法に基づいており、より一般的な小対象論法を用いることなく、ホモトピー単射的分解を得ることができるという利点があります。 これらの応用は、Roos公理が準連接層や連接層の圏を含む、より広い文脈においても有用なツールとなりうることを示唆しています。

핵심 개념

準コンパクトな半分離的スキームまたは有限クルル次元を持つネータースキームX上の準連接層の圏X–Qcohは、Roos公理AB4∗-nを満たす。つまり、X–Qcohにおける無限直積の導来関数は、有限なホモロジー次元を持つ。

초록

この論文は、準コンパクトな半分離的スキームまたは有限クルル次元を持つネータースキームX上の準連接層の圏X–QcohがRoos公理AB4∗-nを満たすことを示しています。これは、X–Qcohにおける無限直積の導来関数が、有限なホモロジー次元を持つことを意味します。

論文では、この主結果に対して、2つの設定それぞれに2つの証明が与えられています。1つ目は、チェックコ resolutionsolutionに基づくより初等的な証明で、2つ目は、半分離的なケースではX–Qcohにおける有限射影次元を持つ生成元の存在を示し、ネーター的なケースでは（反変層との）共変対応を用いる、より概念的な証明です。

論文の前半（セクション1と2）では、チェックコ resolutionsolutionに基づく初等的なアプローチが詳しく説明されています。まず、半分離的なケースにおけるHogadi–XuとHerbera–Pitsch–Saor´ın–Viriliの議論について説明し、次に、同じアプローチのより洗練されたバージョンを使用して、有限クルル次元を持つネータースキームX上の準連接層の圏に対するRoos公理を証明します。

論文の後半（セクション3と4）では、半分離的なケースにおける非常に平坦な準連接層と反調整準連接層、およびネーター的なケースにおける「ナイーブな」共変対応定理の意味について考察しています。共変対応に基づくアプローチは、半分離的なケースにも適用できますが、非常に平坦な準連接層を用いた議論の方が簡単です。チェックコ resolutionsolutionの議論は、半分離的なケースでは非常に良い数値的な限界を与えていることに注意してください。つまり、Xがn + 1個のアフィン開部分スキームで覆うことができる場合、Roos公理AB4∗-nはX–Qcohに対して成り立ちます。非常に平坦な議論は、この場合、条件AB4∗-Nを証明するだけですが、概念的により強い結果、つまりグロタンディーク圏X–Qcohが射影次元Nの生成元を許容するという結果を与えます。

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Roos axiom holds for quasi-coherent sheaves

by Leonid Posit... 게시일 arxiv.org 11-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2407.13651.pdf

Roos axiom holds for quasi-coherent sheaves

더 깊은 질문

Roos公理は、他の圏、例えば準連接層の圏以外のアーベル圏に対しても成り立つのでしょうか？

はい、Roos公理は準連接層の圏以外のアーベル圏に対しても成り立ちます。Roos公理（AB4*-n）は、無限直積の導来関手のホモロジー次元が有限であることを主張する、アーベル圏に対する条件です。この公理は、準連接層の圏に限らず、無限直積と十分な単射的対象を持つ任意のアーベル圏に対して定式化できます。
実際、Roosの論文[31]では、準連接層の圏以外にも、以下のようなAB4*-nを満たすGrothendieck圏の例が挙げられています。

有限表現型の有限次元多元環上の有限生成加群の圏
局所ネーター環上のArtin加群の圏
さらに、Herbera, Pitsch, Saorín, Viriliらの論文[13]では、AB4*-nを満たすGrothendieck圏のクラスとして、Grothendieck圏の局所化やGrothendieck圏のフィルター付き余極限などが考察されています。

Roos公理を満たさない準連接層の圏の例は存在するのでしょうか？

はい、Roos公理を満たさない準連接層の圏の例は存在します。
まず、無限直積が完全でない準連接層の圏はRoos公理を満たしません。 例えば、体 $k$ 上の射影直線 $\mathbb{P}^1_k$ 上の準連接層の圏は、無限直積が完全でないのでRoos公理を満たしません。これはKellerの反例として知られており、Krauseの論文[19, Example 4.9]で紹介されています。
より一般に、ネータースキーム$X$上に豊富な直線束の族が存在する場合、$X$上の準連接層の圏の無限直積が完全であることと、$X$がアフィンであることは同値です。  ([16, Theorem 1.1])。
したがって、アフィンでないネータースキームで、豊富な直線束の族が存在するものは、Roos公理を満たさない準連接層の圏の例となります。

Roos公理は、代数幾何学における他の問題、例えば連接層の研究に応用できるのでしょうか？

はい、Roos公理は連接層の研究を含む、代数幾何学における他の問題に応用することができます。
Roos公理の重要な応用の一つとして、逆極限関手の導来関手のホモロジー次元評価が挙げられます。 Roosの論文[31, Theorem 2.1]では、AB4*-nを満たすGrothendieck圏において、対象の列の逆極限関手の導来関手のホモロジー次元は高々n+1であることが示されています。これは、連接層の圏を含む、様々なGrothendieck圏における逆極限の振る舞いを理解する上で重要な結果です。
また、Herbera, Pitsch, Saorín, Viriliらの論文[13]では、AB4*-nを満たすアーベル圏において、複体のホモトピー単射的分解を具体的に構成する方法が示されています。これは、Cartan-EilenbergやSpaltensteinに遡る古典的な構成法に基づいており、より一般的な小対象論法を用いることなく、ホモトピー単射的分解を得ることができるという利点があります。
これらの応用は、Roos公理が準連接層や連接層の圏を含む、より広い文脈においても有用なツールとなりうることを示唆しています。