多様な偏微分方程式の数値解法における有限要素法の詳細な証明
本文書の目的は、部分微分方程式の数値解法において広く用いられる有限要素法の数学的基礎を詳細に示すことである。特に、任意の次元の単体上のラグランジュ型有限要素の構築に関する詳細な証明を提供する。
高次元偏積分微分方程式の解法: 有限表現法
本論文では、高次元偏積分微分方程式を解くための新しい有限表現法(FEX-PG)を提案する。FEX-PGは、パラメータのグループ化と積分項の効率的な評価を導入することで、高次元問題に対する高精度かつ解釈可能な数値解を提供する。
自己相似集上の高次数数値積分
本論文では、滑らかな関数の自己相似集上の積分を高次の補間型キュバチャー公式を用いて近似する手法を提案する。キュバチャー重みの計算が主な困難点であり、積分の自己相似性を利用して代数的に特徴付けている。h版とp版のキュバチャーを提案し、誤差解析と数値実験を行う。
遅延方程式のための指数関数 Runge-Kutta 法 - sun-star 抽象フレームワークにおいて
遅延方程式を抽象微分方程式として定式化し、指数関数 Runge-Kutta 法を適用することで、統一的な方法で収束性を分析できる。
非可換演算子を持つ指数関数型ルンゲ・クッタ法の次数低下
非可換な2つの演算子を持つ線形放物型方程式に対して、指数関数型ルンゲ・クッタ法を適用した際の次数低下の現象を分析し、その理解を深めた。
高次元コロボフ関数の量子回路による近似
量子回路を用いて、高次元コロボフ関数空間の関数を任意の精度で近似することができる。
ポスト・ニュートン・ハミルトン系に対する一般化された流れ合成シンプレクティック法
ポスト・ニュートン・ハミルトン系の数値シミュレーションにおいて、一般化された流れ合成シンプレクティック法は、従来の完全陰的シンプレクティック法や半陰的混合シンプレクティック法よりも高精度かつ効率的である。
フレッドホルム第二種積分方程式の解法: ワッサーシュタイン勾配流を用いて
ワッサーシュタイン勾配流を用いて、フレッドホルム第二種積分方程式の正則化された解を求める手法を提案する。
数値微分方程式の解法における スプライン積分演算子の利用
本研究では、理論解の スプライン近似と積分公式を組み合わせた新しい数値解法を提案する。この手法は高次の近似精度を持ち、安定性の解析も行う。
線形楕円型、放物型、双曲型偏微分方程式の数値解法のための第一次系最小二乗ニューラルネットワーク
有界な多角形領域における線形楕円型、放物型、双曲型偏微分方程式を深層ニューラルネットワークを用いて数値的に解くための概念的枠組みを提案する。偏微分方程式は等価な第一次系の最小二乗残差を最小化する問題として定式化される。この最小二乗残差は偏微分方程式の弱残差に等しいか比例し、局所的なサブネットワークからの寄与で表され、ニューラルネットワークの偏微分方程式残差に関する局所的な「非平衡」を示す。これは数値損失関数として機能し、適応的最小二乗有限要素法における(準)最適な数値誤差推定量を構成する。さらに、ニューラルネットワークの適応的な成長戦略を提案し、最小二乗損失関数の正確な数値最小化を仮定すると、第一次系最小二乗定式化の正確な解に収束するニューラルネットワークの実現が得られる。
