통찰 - 금융 수학 - # 유럽 및 아시아 콜옵션의 암시적 변동성

유럽 및 아시아 콜옵션의 암시적 변동성에 대한 스토캐스틱 변동성 바슐레이 모델의 영향

Q: 다른 옵션 유형(예: 장벽 옵션, 디지털 옵션 등)에 대한 단기 만기 암시적 변동성 행태는 어떠한가?

장벽 옵션과 디지털 옵션과 같은 다른 옵션 유형의 단기 만기 암시적 변동성 행태는 전통적인 유럽형 및 아시아형 옵션과는 다르게 나타날 수 있습니다. 장벽 옵션은 특정 가격 수준에 도달했을 때만 유효해지거나 무효화되는 특성을 가지고 있습니다. 이러한 특성으로 인해 장벽 옵션의 가격은 기초 자산의 변동성과 그 변동성이 특정 장벽에 도달할 확률에 크게 의존합니다. 따라서, 장벽 옵션의 단기 만기 암시적 변동성은 기초 자산의 가격이 장벽에 가까워질수록 급격히 증가할 수 있습니다. 디지털 옵션의 경우, 이 옵션은 기초 자산의 가격이 특정 수준을 초과하거나 미달할 때 고정된 금액을 지급합니다. 이로 인해 디지털 옵션의 암시적 변동성은 기초 자산의 가격이 만기일에 가까워질수록 급격히 변화할 수 있으며, 특히 ATM(At-The-Money) 지점에서 더 뚜렷하게 나타납니다. 이러한 옵션들은 가격의 이진적 특성으로 인해, 단기 만기에서의 암시적 변동성은 기초 자산의 가격 경로에 따라 크게 달라질 수 있습니다.

Q: 점프 확산 프로세스를 포함한 더 일반적인 기초자산 모델에서는 어떤 결과를 얻을 수 있는가?

점프 확산 프로세스를 포함한 기초 자산 모델은 자산 가격의 변동성을 더 잘 설명할 수 있는 장점을 제공합니다. 이러한 모델은 자산 가격이 연속적인 변동뿐만 아니라 불연속적인 점프를 포함하여 변화할 수 있음을 나타냅니다. 점프 확산 모델을 사용하면, 단기 만기 암시적 변동성의 행동이 더 복잡해질 수 있으며, 특히 점프의 빈도와 크기에 따라 암시적 변동성이 크게 영향을 받을 수 있습니다. 예를 들어, 점프가 자주 발생하는 경우, 단기 만기에서의 암시적 변동성은 점프의 크기와 방향에 따라 급격히 증가할 수 있습니다. 반면, 점프가 드물게 발생하는 경우, 암시적 변동성은 상대적으로 안정적일 수 있습니다. 이러한 점프 확산 모델은 특히 금융 위기와 같은 비정상적인 시장 상황에서 자산 가격의 급격한 변동을 설명하는 데 유용합니다. 따라서, 점프 확산 프로세스를 포함한 모델은 단기 만기 암시적 변동성의 예측에 있어 더 나은 성능을 보일 수 있습니다.

Q: 암시적 변동성 곡률에 대한 단기 만기 근사 공식을 도출할 수 있는가?

암시적 변동성 곡률에 대한 단기 만기 근사 공식은 Malliavin 미적분학과 같은 수학적 기법을 통해 도출할 수 있습니다. 본 논문에서 제시된 결과에 따르면, 단기 만기에서의 암시적 변동성 곡률은 기초 자산의 변동성과 그 변동성의 미분에 의존합니다. 특히, 유럽형 및 아시아형 옵션의 경우, 암시적 변동성 곡률은 다음과 같은 형태로 근사할 수 있습니다: [ \lim_{T \to 0} T^{\max(1/2 - H, 0)} \partial_k I(t, k^*) = \text{특정 기초 자산 모델에 대한 기대값} ] 이 공식은 기초 자산의 변동성 모델에 따라 다르게 나타날 수 있으며, Hurst 지수 H의 값에 따라 곡률의 행동이 달라질 수 있습니다. H가 1/2보다 클 경우, 곡률은 0으로 수렴할 수 있으며, H가 1/2보다 작을 경우에는 특정한 비율로 수렴하게 됩니다. 이러한 근사 공식은 다양한 변동성 모델에 적용 가능하며, 특히 단기 만기 옵션 가격 결정에 유용한 도구가 될 수 있습니다.

핵심 개념

바슐레이 모델의 일반적인 스토캐스틱 변동성 프로세스에서 유럽 및 산술 아시아 콜옵션의 만기 단기 행태를 분석하였다. 말리아빈 미분법을 사용하여 만기 접근 시 암시적 변동성의 수준과 기울기를 계산하였다.

초록

이 논문은 바슐레이 모델의 일반적인 스토캐스틱 변동성 프로세스에서 유럽 및 산술 아시아 콜옵션의 단기 만기 행태를 분석한다.

먼저 말리아빈 미분법을 사용하여 만기 접근 시 암시적 변동성의 수준을 계산하였다. 그 다음으로 변동성 모델의 거칠기에 따라 암시적 변동성의 기울기에 대한 단기 만기 근사 공식을 도출하였다.

이 결과들을 SABR, 분수 Bergomi, 국소 변동성 모델에 적용하고 근사 공식의 정확성을 확인하는 수치 시뮬레이션을 제공하였다.

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통계

만기 접근 시 유럽 및 아시아 콜옵션의 ATM 암시적 변동성 수준은 현재 변동성과 같다.
유럽 콜옵션의 ATM 암시적 변동성 기울기의 단기 만기 극한은 ρ/σ0T^2 * ∫_0^T ∫_r^T E[DW'_r σ_u] du dr 이다.
아시아 콜옵션의 ATM 암시적 변동성 기울기의 단기 만기 극한은 9ρ/σ0T^5 * ∫_0^T (T-r) ∫_r^T (T-u)^2 E[DW'_r σ_u] du dr 이다.

인용구

없음

핵심 통찰 요약

On the implied volatility of European and Asian call options under the stochastic volatility Bachelier model

by Elis... 게시일 arxiv.org 09-30-2024

https://arxiv.org/pdf/2308.15341.pdf

On the implied volatility of European and Asian call options under the stochastic volatility Bachelier model

더 깊은 질문

다른 옵션 유형(예: 장벽 옵션, 디지털 옵션 등)에 대한 단기 만기 암시적 변동성 행태는 어떠한가?

장벽 옵션과 디지털 옵션과 같은 다른 옵션 유형의 단기 만기 암시적 변동성 행태는 전통적인 유럽형 및 아시아형 옵션과는 다르게 나타날 수 있습니다. 장벽 옵션은 특정 가격 수준에 도달했을 때만 유효해지거나 무효화되는 특성을 가지고 있습니다. 이러한 특성으로 인해 장벽 옵션의 가격은 기초 자산의 변동성과 그 변동성이 특정 장벽에 도달할 확률에 크게 의존합니다. 따라서, 장벽 옵션의 단기 만기 암시적 변동성은 기초 자산의 가격이 장벽에 가까워질수록 급격히 증가할 수 있습니다.
디지털 옵션의 경우, 이 옵션은 기초 자산의 가격이 특정 수준을 초과하거나 미달할 때 고정된 금액을 지급합니다. 이로 인해 디지털 옵션의 암시적 변동성은 기초 자산의 가격이 만기일에 가까워질수록 급격히 변화할 수 있으며, 특히 ATM(At-The-Money) 지점에서 더 뚜렷하게 나타납니다. 이러한 옵션들은 가격의 이진적 특성으로 인해, 단기 만기에서의 암시적 변동성은 기초 자산의 가격 경로에 따라 크게 달라질 수 있습니다.

점프 확산 프로세스를 포함한 더 일반적인 기초자산 모델에서는 어떤 결과를 얻을 수 있는가?

점프 확산 프로세스를 포함한 기초 자산 모델은 자산 가격의 변동성을 더 잘 설명할 수 있는 장점을 제공합니다. 이러한 모델은 자산 가격이 연속적인 변동뿐만 아니라 불연속적인 점프를 포함하여 변화할 수 있음을 나타냅니다. 점프 확산 모델을 사용하면, 단기 만기 암시적 변동성의 행동이 더 복잡해질 수 있으며, 특히 점프의 빈도와 크기에 따라 암시적 변동성이 크게 영향을 받을 수 있습니다.
예를 들어, 점프가 자주 발생하는 경우, 단기 만기에서의 암시적 변동성은 점프의 크기와 방향에 따라 급격히 증가할 수 있습니다. 반면, 점프가 드물게 발생하는 경우, 암시적 변동성은 상대적으로 안정적일 수 있습니다. 이러한 점프 확산 모델은 특히 금융 위기와 같은 비정상적인 시장 상황에서 자산 가격의 급격한 변동을 설명하는 데 유용합니다. 따라서, 점프 확산 프로세스를 포함한 모델은 단기 만기 암시적 변동성의 예측에 있어 더 나은 성능을 보일 수 있습니다.

암시적 변동성 곡률에 대한 단기 만기 근사 공식을 도출할 수 있는가?

암시적 변동성 곡률에 대한 단기 만기 근사 공식은 Malliavin 미적분학과 같은 수학적 기법을 통해 도출할 수 있습니다. 본 논문에서 제시된 결과에 따르면, 단기 만기에서의 암시적 변동성 곡률은 기초 자산의 변동성과 그 변동성의 미분에 의존합니다.
특히, 유럽형 및 아시아형 옵션의 경우, 암시적 변동성 곡률은 다음과 같은 형태로 근사할 수 있습니다:
[
\lim_{T \to 0} T^{\max(1/2 - H, 0)} \partial_k I(t, k^*) = \text{특정 기초 자산 모델에 대한 기대값}
]
이 공식은 기초 자산의 변동성 모델에 따라 다르게 나타날 수 있으며, Hurst 지수 H의 값에 따라 곡률의 행동이 달라질 수 있습니다. H가 1/2보다 클 경우, 곡률은 0으로 수렴할 수 있으며, H가 1/2보다 작을 경우에는 특정한 비율로 수렴하게 됩니다. 이러한 근사 공식은 다양한 변동성 모델에 적용 가능하며, 특히 단기 만기 옵션 가격 결정에 유용한 도구가 될 수 있습니다.