Zählen von Teilgraphen in etwas dichten Graphen

핵심 개념

Die Komplexität des Zählens von Teilgraphen und induzierten Teilgraphen in beschränkten Graphklassen wird vollständig klassifiziert. Insbesondere werden Dichotomien für das Zählen von k-Matchings und k-unabhängigen Mengen in monotonen und irgendwo dichten Graphklassen etabliert.

초록

Die Arbeit untersucht die Probleme des Zählens von Kopien und induzierten Kopien eines kleinen Mustergraphen H in einem großen Wirtsgraphen G. Kürzlich wurde die Komplexität dieser Probleme vollständig klassifiziert, basierend auf strukturellen Einschränkungen der Muster H. In dieser Arbeit wird die komplexere Aufgabe angegangen, die Komplexität für eingeschränkte Muster und eingeschränkte Wirte zu analysieren.
Insbesondere wird untersucht, welche Familien von erlaubten Mustern und Wirten Fixparameter-Lösbarkeit implizieren, d.h. die Existenz eines Algorithmus, der in Zeit f(H) · |G|O(1) läuft, für eine berechenbare Funktion f. Die Hauptergebnisse präsentieren erschöpfende und explizite Komplexitätsklassifizierungen für Familien, die natürliche Abschlusseigenschaften erfüllen.
Unter anderem werden die Probleme des Zählens kleiner Matchings und unabhängiger Mengen in Teilgraph-geschlossenen Graphklassen G als zentrale Untersuchungsobjekte identifiziert. Es werden die folgenden prägnanten Dichotomien als Konsequenzen der Exponentiellen Zeit-Hypothese etabliert:

Zählen von k-Matchings in einem Graphen G ∈G ist genau dann fixparameter-lösbar, wenn G nirgendwo dicht ist.
Zählen von k-unabhängigen Mengen in einem Graphen G ∈G ist genau dann fixparameter-lösbar, wenn G nirgendwo dicht ist.
Darüber hinaus werden fast optimale bedingte untere Schranken erhalten, wenn G irgendwo dicht ist, d.h. nicht nirgendwo dicht.

통계

Das Zählen von k-Matchings in einem Graphen G ∈G ist fixparameter-lösbar, wenn und nur wenn G nirgendwo dicht ist.
Das Zählen von k-unabhängigen Mengen in einem Graphen G ∈G ist fixparameter-lösbar, wenn und nur wenn G nirgendwo dicht ist.

인용구

"Das Zählen von k-Matchings in einem Graphen G ∈G ist genau dann fixparameter-lösbar, wenn G nirgendwo dicht ist."
"Das Zählen von k-unabhängigen Mengen in einem Graphen G ∈G ist genau dann fixparameter-lösbar, wenn G nirgendwo dicht ist."

핵심 통찰 요약

Counting Subgraphs in Somewhere Dense Graphs

by Marco Bressa... 게시일 arxiv.org 04-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2209.03402.pdf

더 깊은 질문

Wie lässt sich die Komplexität des Zählens von Homomorphismen von H nach G charakterisieren, wenn sowohl H als auch G beliebige Graphklassen sind

Die Komplexität des Zählens von Homomorphismen von H nach G für beliebige Graphklassen H und G kann durch die Existenz von Fixparameter-Traktabilität charakterisiert werden. Dies bedeutet, dass es einen Algorithmus gibt, der in einer Laufzeit von f(|H|) * |G|^O(1) für eine berechenbare Funktion f läuft. Diese Fixparameter-Traktabilität hängt von strukturellen Eigenschaften der Graphen H und G ab, wie z.B. deren Treewidth, Cliquenzahl, Unabhängigkeitszahl und Matching-Zahl. Wenn die Graphen H und G bestimmte strukturelle Einschränkungen haben, kann das Zählen von Homomorphismen von H nach G in einer effizienten Zeit durchgeführt werden.

Welche anderen strukturellen Eigenschaften von Graphklassen, neben Nirgendwo-Dichtheit, implizieren Fixparameter-Lösbarkeit für das Zählen von Teilgraphen und induzierten Teilgraphen

Neben der Nirgendwo-Dichtheit können auch andere strukturelle Eigenschaften von Graphklassen die Fixparameter-Traktabilität für das Zählen von Teilgraphen und induzierten Teilgraphen implizieren. Dazu gehören Eigenschaften wie beschränkte Treewidth, beschränkte Cliquenzahl, beschränkte Unabhängigkeitszahl und beschränkte Matching-Zahl. Wenn eine Graphklasse bestimmte strukturelle Einschränkungen aufweist, die das Problem des Zählens von Teilgraphen und induzierten Teilgraphen vereinfachen, kann dies zu einer Fixparameter-Traktabilität führen. Diese strukturellen Eigenschaften dienen als Schlüssel zur Klassifizierung der Komplexität von Zählproblemen in Graphen.

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Die Techniken dieser Arbeit, insbesondere die Verwendung von Graphfrakturen und Färbungen, können auf andere kombinatorische Zählprobleme in Graphen übertragen werden. Indem man die Graphen in farbige Graphen zerlegt und spezielle Färbungstechniken anwendet, kann man die Komplexität verschiedener Zählprobleme analysieren und möglicherweise Fixparameter-Traktabilität oder #W[1]-Härte nachweisen. Darüber hinaus können ähnliche Ansätze zur Reduzierung von Zählproblemen auf bekannte schwierige Probleme wie das Cliquenzählen angewendet werden, um die Komplexität weiter zu untersuchen und zu verstehen.