본 논문은 다이어 그룹의 중심, 쌍곡성, 그리고 비원통 쌍곡성에 대한 연구 결과를 담고 있습니다.
콕서터 그룹과 직각 아틴 그룹은 일반적으로 잘 이해된 그룹입니다. 이 두 그룹은 단어 문제에 대한 해법을 가지고 있다는 공통점을 지닙니다. 콕서터 그룹의 경우 Tits [Tit69]에 의해, 순환 그룹의 그래프 곱의 경우 Green [Gre90]에 의해 해법이 제시되었습니다. Dyer는 콕서터 그룹의 반사 하위그룹을 연구하는 과정에서 [Dye90] 콕서터 그룹과 순환 그룹의 그래프 곱을 모두 포함하는 다이어 그룹을 소개했습니다. [Dye90]와 [PS23]에 따르면, 다이어 그룹은 콕서터 그룹 및 순환 그룹의 그래프 곱과 동일한 단어 문제 해법을 가지고 있습니다. 따라서 콕서터 그룹과 직각 아틴 그룹의 어떤 속성을 다이어 그룹으로 확장할 수 있는지 이해하는 것은 자연스러운 질문입니다. 첫 번째 해답은 [Soe24]에서 찾을 수 있습니다. 이 연구에서는 Davis-Moussong 복합체([Mou88])에서 콕서터 그룹의 기하학적 작용과 Salvetti 복합체([CD95])에서 직각 아틴 그룹의 기하학적 작용을 확장하는 CAT(0) 공간에서 다이어 그룹의 기하학적 작용을 구성했습니다. 본 논문에서는 다이어 그룹의 중심을 연구하고, 쌍곡성 및 비원통 쌍곡성과 같은 음의 곡률에 대한 다른 측면에 초점을 맞춥니다.
콕서터 그룹 및 직각 아틴 그룹과 유사하게, 다이어 그룹은 레이블이 지정된 그래프로 인코딩될 수 있는 특정 표현으로 정의됩니다. Γ를 정점 집합 V(Γ)와 가장자리 집합 E(Γ)를 갖는 유한 단순 그래프라고 하자. Γ는 정점의 레이블 f: V(Γ) → N≥2 ∪ {∞}와 가장자리의 레이블 m: E(Γ) → N≥2를 가지며, 모든 {u, v} ∈ E(Γ)에 대해 f(v) ≥ 3이면 m(u, v) = 2를 만족한다고 가정합니다. 그래프 Γ를 다이어 그래프라고 하며, 관련 다이어 그룹은 다음과 같이 주어지는 그룹 D(Γ)입니다.
D(Γ) := ⟨V(Γ) | vf(v) = e for all v ∈ V(Γ) such that f(v) < ∞, uvuv . . . | {z } m(u,v) terms = vuvu . . . | {z } m(u,v) terms for all {u, v} ∈ E(Γ)⟩.
콕서터 그룹이나 직각 아틴 그룹에 익숙하지 않은 독자는 다음 정의를 고려할 수 있습니다. 콕서터 그룹은 다이어 그래프 Γ가 모든 v ∈ V(Γ)에 대해 f(v) = 2를 만족하는 다이어 그룹입니다. 일반적으로 W(Γ)로 표시합니다. 직각 아틴 그룹은 다이어 그래프 Γ가 모든 v ∈ V(Γ)에 대해 f(v) = ∞를 만족하는 다이어 그룹입니다.
[Dye90]에서 모든 부분 집합 T ⊆ V(Γ)에 대해 T에 의해 생성된 하위그룹 DT는 다이어 그룹 D(Γ')과 동형이며, 여기서 Γ'는 T에 의해 생성된 Γ의 하위 그래프입니다. 결과적으로, T = V(Γ')에 의해 생성된 D(Γ)의 하위그룹을 나타내기 위해 DT 또는 D(Γ')를 서로 바꿔서 쓸 것입니다. 이러한 하위그룹을 D(Γ)의 표준 포물선 하위그룹이라고 합니다.
다이어 그래프 Γ는 Γ가 두 개의 유도된 하위 그래프의 결합으로 분해될 수 있고 결합의 모든 가장자리 e가 m(e) = 2를 만족하는 경우 축소 가능하다고 합니다. 이 경우 D(Γ)는 두 하위 그래프에 의해 주어진 다이어 그룹의 직접 곱 D(Γ1) × D(Γ2)로 분할되며 다이어 그룹 자체는 축소 가능하다고 합니다. 그렇지 않으면 다이어 그래프 Γ 또는 다이어 그룹 D(Γ)를 기약 불가능이라고 합니다. D(Γ)는 항상 기약 불가능 표준 포물선 하위그룹의 직접 곱 D(Γ) = D(Γ1) × ... × D(Γn)으로 분해될 수 있으며 이 분해는 인수를 순열하는 것까지 고유합니다. 하위 그래프 Γi를 Γ의 기약 불가능 성분이라고 합니다.
첫 번째 결과는 다이어 그룹의 중심에 관한 것입니다. 직접 곱의 중심은 요소의 중심의 직접 곱이므로 기약 불가능 다이어 그룹을 처리하는 것으로 충분합니다. 콕서터 그룹의 중심은 완전히 분류되어 있습니다(결과의 컴파일은 보조 정리 2.3 참조).
정리 A. D(Γ)를 기약 불가능 다이어 그룹이라고 하고 f(v) ≠ 2인 v ∈ V(Γ)가 있다고 가정합니다(즉, Γ는 콕서터 그룹을 정의하지 않습니다). 그러면 Γ는 단일 정점이고 D(Γ)는 순환적이거나 D(Γ)는 사소한 중심을 갖습니다.
그로모프 쌍곡성 그룹의 개념은 그로모프의 중요한 연구 [Gro87]에서 정의되었으며 그 이후로 기하학적 그룹 이론의 중심 개념이 되었습니다.
다음으로 주어진 다이어 그룹이 그로모프 쌍곡성일 때에 대한 쉽게 확인할 수 있는 기준을 제시합니다.
정리 B. D(Γ) ∼= D(Γ1) × ... × D(Γn)를 기약 불가능 성분의 곱으로 분해된 다이어 그룹이라고 합니다. 그러면 다음은 동일합니다.
그로모프 쌍곡성 개념을 일반화하는 몇 가지 개념이 있습니다. [Osi16]에서 Osin은 그룹이 비원통 쌍곡성이 되는 개념을 도입했습니다(정의 4.1 참조). 이 광범위한 클래스에는 Out(Fn)(n ≥ 2), 매핑 클래스 그룹 또는 많은 아틴 그룹과 같이 쌍곡성이 아닌 많은 그룹이 포함됩니다.
또한 다이어 그룹이 비원통 쌍곡성이 되기 위한 쉽게 확인할 수 있는 조건을 제공합니다.
정리 C. D(Γ) ∼= D(Γ1) × ... × D(Γn)를 기약 불가능 성분의 곱으로 분해된 다이어 그룹이라고 합니다. 그러면 다음은 동일합니다.
이러한 결과는 콕서터 그룹과 직각 아틴 그룹에 대해 알려져 있었습니다. 정리 4.4에서 우리는 추가로 비원통 쌍곡성 콕서터 그룹의 분류를 제공합니다. 우리가 아는 한 이 형태로 작성된 적은 없지만 특성화는 본질적으로 [CF10]의 작업에서 따릅니다.
본 논문에서는 다이어 그룹의 중심을 분석하고, 다이어 그룹의 쌍곡성 및 비원통 쌍곡성 여부를 판별하는 완전한 분류를 제시했습니다. 이러한 결과는 다이어 그룹에 대한 이해를 높이는 데 기여할 수 있으며, 향후 연구에서 다이어 그룹의 다른 기하학적 및 대수적 속성을 탐구하는 데 활용될 수 있을 것으로 기대됩니다.
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