고도로 조건이 나쁜 대칭 고유값 문제의 점근적 추정

Centrala begrepp

고도로 조건이 나쁜 양의 정부호 행렬이 특정 형태의 랭크 1 행렬들의 합으로 교란될 때, 고유값과 고유벡터에 대한 추정치를 제공한다. 초기 행렬의 조건 수가 무한대로 갈 때, 교란된 행렬의 고유벡터 좌표값의 상한을 구한다.

Sammanfattning

이 논문은 고도로 조건이 나쁜 양의 정부호 행렬이 특정 형태의 랭크 1 행렬들의 합으로 교란될 때 고유값과 고유벡터에 대한 추정치를 제공한다.

1. 고유값 추정:

• 기존 연구에서 제시된 고유값 추정 결과를 인용하여, 교란된 행렬 A(m)의 고유값 상한을 제시한다.
• 단일 랭크 1 교란의 경우(m=1)에 대해 더 나은 상한을 제시한다.

2. 고유벡터 추정:

• Bunch-Nielsen-Sorensen 공식을 이용하여 고유벡터 좌표값을 추정한다.
• m=1인 경우 명시적인 결과를 제시하고, 이를 일반화하여 m≥1인 경우에 대한 결과를 도출한다.
• 초기 행렬 B의 고유값이 무한대로 갈 때, 교란된 행렬 A(m)의 고유벡터 좌표값이 최소 pmin{λi, λj}/ max{λi, λj} 비율로 0으로 수렴함을 보인다.

3. 수치 실험:

• 제안된 상한이 실제로 타이트함을 보여주는 수치 실험 결과를 제시한다.

이 결과는 CMA-ES 알고리즘의 마르코프 체인 안정성 분석에 활용될 수 있다.

Statistik

λi ⩽ νi ⩽ λi ×
1 + md × max
k=1,...,m ∥v(k)∥2
∞
!
for i ∈ {1, . . . , d}
νi ⩽ λi ×
1 + (d − i + 1)∥v∥∞|[v] ji|
for all i ∈ {1, . . . , d}
|[e(m)
i
]j| ⩽ Cm
s
min{λi, λj}
max{λi, λj}
for all i, j ∈ {1, . . . , d} and m ∈ N

Citat

"When the condition number of the initial matrix tends to infinity, we bound the values of the coordinates of the eigenvectors of the perturbed matrix."
"Equivalently, in the coordinate system where the initial matrix is diagonal, we bound the rate of convergence of coordinates that tend to zero."

Viktiga insikter från

Asymptotic estimations of a perturbed symmetric eigenproblem

by Armand Gissl... på arxiv.org 03-13-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.06983.pdf

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