本論文では、非滑らかな最適化問題における収束速度の理論的分析を行う。特に、Goldstein ε-部分微分を用いた場合の (ε, δ)-臨界点の距離が、εおよびδの収束速度に応じてどのように減少するかを明らかにする。
まず、単純な例を通して、収束速度を εおよびδの収束速度から導出するには、関数fが特定の性質を満たす必要があることを示す。具体的には、fが最小点x*において一定の次数の多項式的成長条件を満たし、さらに高次の半滑らかさ性質を持つことが必要である。
次に、この高次の半滑らかさ性質を満たす関数クラスを特定する。具体的には、ピースワイズ微分可能な関数で、各選択関数が一定の凸性を持つ場合に、この性質が成り立つことを示す。一方で、非凸なピースワイズ微分可能関数ではこの性質が成り立たない例も示す。
最後に、上記の条件の下で、(ε, δ)-臨界点の距離と εおよびδの収束速度の関係を明らかにする。具体的には、最小点の次数pが1の場合はεの1次収束、pが2以上の場合はεの1/pおよびδの1/(p-1)次収束が成り立つことを示す。
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Key Insights Distilled From
by Bennet Gebke... at arxiv.org 10-03-2024
https://arxiv.org/pdf/2410.01382.pdfDeeper Inquiries