검은-숄즈 내재 변동성에 대한 더 엄격한 '균일 상한 및 하한'과 근 찾기에의 응용

Conceptos Básicos

옵션 델타를 체계적으로 활용하여 Tehranchi [2016]의 검은-숄즈 내재 변동성에 대한 상한과 하한보다 더 엄격한 하한과 상한을 도출하였다. 이를 활용하여 새로운 뉴턴-랩슨 알고리즘을 제안하였는데, 이는 극단적인 옵션 가격 범위에서도 빠르게 수렴한다.

Resumen

이 논문은 두 가지 목적을 가지고 있다.

첫째, 2장에서 Tehranchi [2016]의 검은-숄즈 내재 변동성 상한과 하한을 개선하였다. 새로운 상한과 하한은 다음과 같이 요약된다:

-k
Φ−1

c
1 + ek

|
{z
}
[11, Prop. 4.6]
≤L2(c) = d−1
1
◦Φ−1(c)
|
{z
}
[11, Prop. 4.9]
≤L3(c) = d−1
1
◦Φ−1
c (c + ek)
2c + ek −1

|
{z
}
This paper (Cor. 5.2)
≤LU23(c) = J ◦U23(c)
|
{z
}
This paper (Cor. 5.1)
≤σ ≤U23(c) = H

min
1 + c
2
, c + ekΦ(−
√
2k)

|
{z
}
This paper (Cor. 4.1)
≤
U3(c) = −Φ−1
1 −c
2

−Φ−1
1 −c
2ek

|
{z
}
This paper (Prop. 4)
≤U1(c) = −2 Φ−1
1 −c
1 + ek

|
{z
}
[11, Prop. 4.3]
.

옵션 델타의 상한을 체계적으로 활용하여 더 엄격한 상한과 하한을 도출하였다. 또한 상한을 더 엄격한 상한으로, 하한을 더 엄격한 하한으로 변환하는 방법을 제시하였다.

둘째, 3장에서 새로운 내재 변동성 근 찾기 방법을 제안하였다. 기존의 단순 뉴턴-랩슨 방법은 매우 낮은 가격의 옵션에 대해 수렴 속도가 느리다. 이를 해결하기 위해 로그 가격을 이용한 새로운 뉴턴-랩슨 방법을 제안하였다. 이 방법은 하한에서 시작하여 근에 수렴하는 것이 보장된다. 특히 새로운 하한 L3(c)를 초기값으로 사용하면 몇 번의 반복으로 빠르게 수렴한다.

Estadísticas

옵션 가격 c와 내재 변동성 σ의 관계는 다음과 같이 표현된다:
c = Φ(d1) −ek Φ(d2)
여기서 d1,2 = −k/σ ± σ/2.

Citas

없음

Ideas clave extraídas de

Tighter 'uniform bounds for Black-Scholes implied volatility' and the applications to root-finding

by Jaehyuk Choi... a las arxiv.org 10-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2302.08758.pdf

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내재 변동성 계산은 금융공학 외에도 여러 분야에서 응용될 수 있다. 첫째, 보험 산업에서는 옵션 가격 모델을 활용하여 보험 상품의 가격 책정 및 리스크 관리에 내재 변동성을 적용할 수 있다. 예를 들어, 보험 계약의 변동성을 평가하여 적절한 보험료를 설정하는 데 도움을 줄 수 있다. 둘째, 경제학에서는 자산 가격의 변동성을 분석하여 시장의 효율성을 평가하거나 경제적 불확실성을 측정하는 데 활용될 수 있다. 셋째, 데이터 과학 및 머신러닝 분야에서는 내재 변동성을 예측하는 모델을 개발하여 다양한 데이터 세트에서 패턴을 분석하고 예측하는 데 기여할 수 있다. 마지막으로, 정책 분석에서도 내재 변동성을 활용하여 금융 시장의 반응을 예측하고, 정책 변화가 시장에 미치는 영향을 평가하는 데 유용할 수 있다. 이러한 다양한 분야에서 내재 변동성 계산은 중요한 역할을 할 수 있으며, 각 분야의 특성에 맞게 응용될 수 있다.