Neue Erkenntnisse zum Grenzamplitudenprinzip für die Wellengleichung mit variablen Koeffizienten

Conceptos Básicos

Unter geeigneten Annahmen an die Koeffizienten und die Quelle wird das Grenzamplitudenprinzip für die Wellengleichung in den Dimensionen 2 und 3 bewiesen. Für die Dimension 1 wird das Prinzip mit einer entsprechenden Modifikation erweitert. Außerdem wird die Konvergenzrate des Zeitbereichs-Lösers zum Frequenzbereichs-Löser quantifiziert.

Resumen

Der Artikel befasst sich mit dem Grenzamplitudenprinzip (LAP) für die Wellengleichung mit variablen Koeffizienten, die nicht unbedingt in Divergenzform vorliegt. Unter geeigneten Annahmen an die Koeffizienten und die Quelle wird das LAP für die Dimensionen 2 und 3 bewiesen. Dieses Ergebnis wird auf die Dimension 1 mit einer entsprechenden Modifikation erweitert. Außerdem wird die Konvergenz des Zeitbereichs-Lösers zum Frequenzbereichs-Löser quantifiziert.

Die Analyse basiert auf Zeitzerfall-Abschätzungen für Lösungen einiger Hilfsaufgaben, anstatt den Resolventenoperator direkt zu untersuchen. Dieser Ansatz hat den Vorteil, dass neue Erkenntnisse im Bereich der Zeitzerfall-Resultate direkt zu Verbesserungen in der Quantifizierung der Langzeit-Konvergenz im LAP führen.

Für die Dimension 1 wird gezeigt, dass die klassische Formulierung des LAP (d.h. wenn U_∞ = 0 ist) nicht gültig ist. Stattdessen wird eine modifizierte Version des Prinzips bewiesen, die einen exponentiellen Zeitzerfall der Differenz zwischen Zeitbereichs- und Frequenzbereichs-Lösung liefert.

Für die Dimensionen 2 und 3 wird eine algebraische Konvergenzrate nachgewiesen. Die Autoren vermuten, dass die Zerfallsrate für den Fall d = 3 noch verbessert werden kann.

Estadísticas

Die Wellengleichung im Frequenzbereich lautet:
-ω^2 U(x) - β^(-1)(x) ∇ · (α(x) ∇ U(x)) = F(x), x ∈ R^d
mit Sommerfeldsche Abstrahlbedingung.
Die Wellengleichung im Zeitbereich lautet:
∂^2_t u(x,t) - β^(-1)(x) ∇ · (α(x) ∇ u(x,t)) = e^(-iωt) F(x), x ∈ R^d, t > 0
mit Anfangsbedingungen u(x,0) = 0, ∂_t u(x,0) = 0.

Citas

"Unter geeigneten Annahmen an die Koeffizienten und die Quelle wird das Grenzamplitudenprinzip für die Wellengleichung in den Dimensionen 2 und 3 bewiesen."
"Für die Dimension 1 wird das Prinzip mit einer entsprechenden Modifikation erweitert."
"Außerdem wird die Konvergenzrate des Zeitbereichs-Lösers zum Frequenzbereichs-Löser quantifiziert."

Ideas clave extraídas de

On the limiting amplitude principle for the wave equation with variable coefficients

by Anton Arnold... a las arxiv.org 04-08-2024

https://arxiv.org/pdf/2202.10105.pdf

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