Effiziente Berechnung von Niedrigrang-Approximationen nicht-negativer selbstadjungierter Operatoren mit randomisierten Nyström-Methoden

Conceptos Básicos

In dieser Arbeit wird eine unendlich-dimensionale Erweiterung der randomisierten Nyström-Approximation entwickelt und analysiert, um niedrigrang-Approximationen von nicht-negativen selbstadjungierten Spurklassen-Operatoren zu berechnen. Die Analyse liefert Erwartungswert- und Wahrscheinlichkeitsschranken für den Approximationsfehler in verschiedenen Operatornormen.

Resumen

Die Arbeit präsentiert eine unendlich-dimensionale Erweiterung der randomisierten Nyström-Approximation zur Berechnung von Niedrigrang-Approximationen nicht-negativer selbstadjungierter Spurklassen-Operatoren.

Zunächst wird die Nyström-Approximation im endlichen Dimensionsfall analysiert, wenn die Spalten der Skizziermatrix Ω aus einer nicht-standardmäßigen Gaußverteilung N(0, K) gezogen werden. Es werden Erwartungswert- und Wahrscheinlichkeitsschranken für den Approximationsfehler in den Frobenius-, Spektral- und Kernraumnormen hergeleitet.

Darauf aufbauend wird die unendlich-dimensionale Erweiterung der Nyström-Approximation präsentiert. Hierbei werden Hilbert-Schmidt-Operatoren, Gaußprozesse und Quasimatrizen eingeführt, um den unendlich-dimensionalen Fall zu beschreiben. Die Analyse des endlichen Falls wird dann durch Stetigkeitsargumente auf den unendlich-dimensionalen Fall übertragen.

Als Nebenprodukt verbessert die Analyse auch die bestehenden Schranken für die unendlich-dimensionale randomisierte SVD.

Estadísticas

Die Spur des Operators A ist gegeben durch die Summe der Eigenwerte: ∥A∥Tr = Σ∞
j=1 σj.
Die Hilbert-Schmidt-Norm von A ist gegeben durch: ∥A∥HS = (Σ∞
j=1 σ2
j )1/2.
Die Operatornorm von A ist gegeben durch: ∥A∥op = σ1.

Citas

"In diesem Setting ist es gut etabliert, dass die randomisierte Nyström-Approximation üblicherweise der randomisierten SVD vorzuziehen ist."
"Randomisierte Techniken werden zunehmend populär für die Berechnung von Niedrigrang-Approximationen von Matrizen."

Ideas clave extraídas de

Randomized Nyström approximation of non-negative self-adjoint operators

by Davi... a las arxiv.org 04-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.00960.pdf

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