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insight - 数値解析と計算複雑性
非線形遅延中性McKean-Vlasov確率微分方程式の収束率 - 分数ブラウン運動による駆動
本論文では、分数ブラウン運動によって駆動される非線形遅延中性McKean-Vlasov確率微分方程式の強収束性を調査する。解の一意存在と特性(モーメントの有界性、カオスの伝播)を示した上で、オイラー・マルユアマ(EM)スキームを構築し、その強収束率を導出する。
L´evy空間時間白色雑音を含む確率熱方程式の完全離散有限差分スキームの構造保存に関する研究
本論文は、L´evy空間時間白色雑音を含む確率熱方程式の完全離散有限差分スキームについて、正確解の弱的間欠性と経路性質を同時に保存することを示した。また、離散Green関数と正確Green関数の誤差評価に基づき、数値スキームの平均二乗収束性を解析した。
確率微分方程式の数値解法 - 非線形フェインマン-カック公式を用いた漸近的な数値解法
本論文では、無限時間の漸近的な確率微分方程式の数値解法を提案する。特に、楕円型偏微分方程式の確率表現を用いて、ピカール反復法と有限差分法、モンテカルロ法を組み合わせた新しい数値スキームを開発し、その誤差解析を行う。
物理情報ニューラルネットワーク(PINN)を用いて因果問題を解く際の困難性の理解
PINNを用いて因果問題を解く際の2つの主な問題点は、L2残差を損失関数として使用することと、ニューラルネットワークの近似能力の限界である。前者は因果問題の基本的な動的特性を捉えられないため、後者は不連続な解を正確に表現できないためである。
低正則性の速度場を持つ確率的輸送方程式に対する収束有限差分スキーム
本論文では、低正則性の速度場を持つ確率的輸送方程式に対する収束性のある有限差分スキームを提案し、解析する。
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