Lineare zyklische und negazyklische Sum-Rank-Codes: Konstruktion und Eigenschaften

Core Concepts

In dieser Arbeit werden zyklische und negazyklische Sum-Rank-Codes eingeführt und direkt aus zyklischen und negazyklischen Codes im Hammingmetrik konstruiert. Außerdem werden BCH-Schranken und Hartmann-Tzeng-Schranken für bestimmte Typen zyklischer Sum-Rank-Codes hergeleitet. Es werden spezifische Konstruktionen von zyklischen, negazyklischen und konstazyklischen Sum-Rank-Codes mit bekannten Dimensionen und kontrollierbaren minimalen Sum-Rank-Abständen präsentiert. Darüber hinaus werden unendliche Familien von abstandsoptimalen binären zyklischen Sum-Rank-Codes mit minimalem Sum-Rank-Abstand vier konstruiert.

Abstract

Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in Sum-Rank-Codes und deren Anwendungen. Anschließend werden zyklische und negazyklische Sum-Rank-Codes definiert und eine allgemeine Konstruktionsmethode vorgestellt, bei der zyklische und negazyklische Codes im Hammingmetrik verwendet werden.
Es werden BCH-Schranken und Hartmann-Tzeng-Schranken für bestimmte Typen zyklischer Sum-Rank-Codes hergeleitet. Darauf aufbauend werden spezifische Konstruktionen von zyklischen, negazyklischen und konstazyklischen Sum-Rank-Codes präsentiert, bei denen die Dimensionen und minimalen Sum-Rank-Abstände bekannt sind.
Weiterhin werden unendliche Familien von abstandsoptimalen binären zyklischen Sum-Rank-Codes mit minimalem Sum-Rank-Abstand vier konstruiert. Dies ist die erste derartige Familie von abstandsoptimalen Sum-Rank-Codes in der Literatur.
Abschließend wird die Decodierung zyklischer und negazyklischer Sum-Rank-Codes diskutiert.

Stats

Die Dimension des zyklischen Sum-Rank-Codes SR(C(qm,t,δ0,b0), ..., C(qm,t,δm−1,bm−1)) ist m Σm−1
i=0 ki, wobei ki die Dimension des BCH-Codes C(qm,t,δi,bi) über Fqm ist.
Der minimale Sum-Rank-Abstand des zyklischen Sum-Rank-Codes SR(C(qm,t,δ0,b0), ..., C(qm,t,δm−1,bm−1)) ist mindestens max{min{mδ0, (m−1)δ1, ..., δm−1}, min{δ0, 2δ1, ..., mδm−1}}.
Für bestimmte Parameter (q, m, t, η) hat der zyklische Sum-Rank-Code SR(C(q2,t,η(q2h+1),1), C(q2,t,2η(q2h+1),1)) die Dimension 2 · (2t − ℓ/6η(q2h − q2(h−1)) − (η − 1)2 − (2η − 1)2) und den minimalen Sum-Rank-Abstand 2η(q2h + 1).

Quotes

"In dieser Arbeit werden zyklische, negazyklische und konstazyklische Sum-Rank-Codes über Fq mit Blockänge t und Matrixgröße n × m eingeführt."
"Zyklische-schief-zyklische Sum-Rank-Codes sind spezielle zyklische Sum-Rank-Codes."
"Dies ist die erste unendliche Familie von abstandsoptimalen Sum-Rank-Codes mit minimalem Sum-Rank-Abstand vier in der Literatur."

Key Insights Distilled From

Cyclic and Negacyclic Sum-Rank Codes

by Hao Chen,Cun... at arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2401.04885.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die Ergebnisse dieser Arbeit auf andere Typen von Sum-Rank-Codes wie konstazyklische oder schief-zyklische Codes erweitert werden?

Die Ergebnisse dieser Arbeit können auf andere Typen von Sum-Rank-Codes wie konstazyklische oder schief-zyklische Codes erweitert werden, indem ähnliche Konstruktionsmethoden angewendet werden. Konstazyklische Codes sind eine Erweiterung von zyklischen Codes, bei denen die zyklische Verschiebung um einen Faktor λ ≠ 1 erfolgt. Durch Anpassung der Konstruktionsverfahren für zyklische Sum-Rank-Codes können Konstazyklische Sum-Rank-Codes erstellt werden. Schief-zyklische Codes sind eine spezielle Klasse von zyklischen Codes, bei denen die zyklische Verschiebung um einen Faktor λ = -1 erfolgt. Ähnlich wie bei der Konstruktion von negazyklischen Sum-Rank-Codes können schief-zyklische Sum-Rank-Codes durch entsprechende Anpassungen der Konstruktionsmethoden erstellt werden. Durch die Anwendung ähnlicher Prinzipien und Techniken können die Ergebnisse dieser Arbeit auf eine breitere Palette von Sum-Rank-Codes angewendet und erweitert werden.

Welche Anwendungen haben die in dieser Arbeit konstruierten abstandsoptimalen binären zyklischen Sum-Rank-Codes?

Die in dieser Arbeit konstruierten abstandsoptimalen binären zyklischen Sum-Rank-Codes haben verschiedene Anwendungen in der Codierungstheorie und der Informationstheorie. Einige der Anwendungen sind:

Multishot-Netzwerkcodierung: Die abstandsoptimalen binären zyklischen Sum-Rank-Codes können in Multishot-Netzwerkcodierungsszenarien eingesetzt werden, um Daten effizient zu übertragen und zu speichern.

Raum-Zeit-Codierung: Diese Codes können in der Konstruktion von Raum-Zeit-Codes verwendet werden, um die Übertragung von Daten in drahtlosen Kommunikationssystemen zu verbessern.

Verteilte Speicherung: Die abstandsoptimalen binären zyklischen Sum-Rank-Codes sind auch in verteilten Speicherungssystemen nützlich, um Daten redundant zu speichern und die Fehlertoleranz zu erhöhen.

Fehlerkorrigierende Codes: Durch ihre optimale Fehlerkorrekturfähigkeit können diese Codes in verschiedenen Anwendungen eingesetzt werden, in denen eine zuverlässige Datenübertragung erforderlich ist.

Gibt es Möglichkeiten, die Konstruktion der zyklischen und negazyklischen Sum-Rank-Codes weiter zu verallgemeinern, um eine größere Klasse von Sum-Rank-Codes abzudecken?

Ja, es gibt Möglichkeiten, die Konstruktion der zyklischen und negazyklischen Sum-Rank-Codes weiter zu verallgemeinern, um eine größere Klasse von Sum-Rank-Codes abzudecken. Einige Ansätze zur Verallgemeinerung könnten sein:

Berücksichtigung anderer Verschiebungsoperationen: Statt nur zyklische oder negazyklische Verschiebungen zu betrachten, könnten andere Arten von Verschiebungsoperationen in die Konstruktion einbezogen werden, um eine breitere Klasse von Codes zu generieren.

Einbeziehung unterschiedlicher Algebren: Durch die Erweiterung der Konstruktion auf verschiedene Algebren oder Körper können vielfältigere Sum-Rank-Codes erstellt werden, die unterschiedliche Anwendungen und Eigenschaften aufweisen.

Kombination mit anderen Codierungstechniken: Die Verallgemeinerung der Konstruktion durch die Kombination mit anderen Codierungstechniken wie Blockcodes oder Faltungscodes kann zu neuen und leistungsstarken Sum-Rank-Codes führen.

Durch die Erweiterung und Verallgemeinerung der Konstruktionsmethoden können neue und vielseitige Sum-Rank-Codes geschaffen werden, die in einer Vielzahl von Anwendungen in der Codierungstheorie und Kommunikationstechnik eingesetzt werden können.