左順序可能群における凝縮と共役関係

核心概念

左順序可能群の共役関係は多くの場合非滑らかである。特に、ソルバブルなバウムスラグ・ソリター群 BS(1, n) と Thompson の群 F の共役関係は非滑らかである。

要約

本論文では、左順序可能群の共役関係の Borel 複雑性について分析しています。

主な結果は以下の通りです:

1. 全ての n≥2 について、BS(1, n) の共役関係 Elo(BS(1, n)) は非滑らかである。さらに、BS(1, 2) の共役関係は超有限であることが示されました。これは有限生成左順序可能群の初めての例となります。

2. Thompson の群 F の共役関係 Elo(F) も非滑らかであることが示されました。

この分析の中心となるのは、「凝縮された左順序」の概念です。凝縮された左順序は、その共役体によって近似できるような左順序です。凝縮された左順序の存在は、共役関係の非滑らかさと同値であることが分かりました。また、凝縮された左順序は、左順序の自由部分を分析することで検出できることも示されています。

この手法を用いることで、相対的に凸な部分群を持つ群や、孤立点を持つ群の共役関係の非滑らかさを示すことができます。

統計

なし

引用

なし

抽出されたキーインサイト

Condensation and left-orderable groups

by Filippo Cald... 場所 arxiv.org 10-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.04993.pdf

深掘り質問

ソルバブルな群の中で、アーベル群の上にアーベル群を持つような群の共役関係の Borel 複雑性はどのようになるでしょうか。

ソルバブルな群の中でアーベル群の上にアーベル群を持つ群の共役関係の Borel 複雑性は、群の構造やその左順序可能性に依存します。特に、アーベル群はその性質上、共役関係が比較的単純であるため、Borel 複雑性は低いと考えられます。しかし、アーベル群の上にアーベル群を持つような群、例えばアーベル群の直積や拡大を考えると、これらの群の共役関係はより複雑になる可能性があります。具体的には、アーベル群の上にアーベル群を持つ群が左順序可能であれば、その共役関係は滑らかである可能性が高いですが、非アーベル的な構造を持つ場合、Borel 複雑性は高くなることが予想されます。したがって、アーベル群の上にアーベル群を持つ群の共役関係の Borel 複雑性は、群の具体的な構造に依存し、一般的には非アーベル的な要素が存在する場合に複雑性が増すと考えられます。

Thompson の群 F の共役関係は超有限であるでしょうか。これは、F の可解性と Weiss の問題との関係を示唆するかもしれません。

Thompson の群 F の共役関係が超有限であるかどうかは、群の構造とその動的特性に深く関連しています。現在の知見では、Thompson の群 F の共役関係は滑らかではないことが示されていますが、超有限であるかどうかは未解決の問題です。もし F の共役関係が超有限であれば、これは群 F の可解性と関連しており、特に Weiss の問題に対する重要な示唆を提供します。Weiss の問題は、可解群の作用によって誘導されるすべての Borel 同値関係が超有限であるかどうかを問うものであり、Thompson の群 F がこの問題に対する反例となる可能性があります。したがって、F の共役関係が超有限であるかどうかは、群の可解性と Weiss の問題との間に深い関係があることを示唆しています。

左順序可能群の共役関係の Borel 複雑性と、群の他の代数的・幾何学的性質との関係はどのようなものでしょうか。

左順序可能群の共役関係の Borel 複雑性は、群の代数的および幾何学的性質と密接に関連しています。特に、左順序可能性は群の構造に強い制約を与え、これにより共役関係の滑らかさや Borel 複雑性に影響を与えます。例えば、左順序可能群が相対的に凸な部分群を持つ場合、その共役関係は非滑らかであることが示されています。また、群の幾何学的性質、例えばその位相的特性や作用の性質も、共役関係の Borel 複雑性に影響を与えます。具体的には、群の位相空間がポーランド空間である場合、その共役関係は Borel 同値関係として扱われ、群の代数的性質が Borel 複雑性に反映されることが多いです。したがって、左順序可能群の共役関係の Borel 複雑性は、群の代数的および幾何学的性質と深く結びついており、これらの性質を通じて理解されるべきです。