多變量 CARMA 過程、連續時間狀態空間模型和抽樣過程創新的完全規律性，伯努利 18，pp. 46-63，2012 年的勘誤

Conceitos essenciais

本文修正了 Schlemm 和 Stelzer (2012b) 以及 Brockwell 和 Schlemm (2013) 中關於連續時間狀態空間模型和 MCARMA 過程等價性證明中的錯誤，並證明了任何 Lévy 驅動的線性狀態空間模型都可以用觀察者和控制器規範形式表示，其轉移函數始終具有左右矩陣分數表示，其中「分母」以單位矩陣作為領先係數。

Resumo

這篇論文是對 Schlemm 和 Stelzer 於 2012 年發表在 Bernoulli 期刊上的論文 "Multivariate CARMA processes, continuous-time state space models and complete regularity of the innovations of the sampled processes" 的勘誤。

論文背景

Schlemm 和 Stelzer (2012b) 的原始論文旨在建立 Lévy 驅動的多變量 CARMA 過程與 Lévy 驅動的線性狀態空間模型之間的等價關係。這種等價性對於統計推論理論至關重要，因為它確保了通過考慮梯形形式的狀態空間模型來識別模型。

錯誤修正

Fasen-Hartmann 和 Schenk (2024) 指出，Schlemm 和 Stelzer (2012b) 中等價性證明（推論 3.4）存在嚴重缺陷。Caines (2018) 的附錄 2 並不能保證轉移函數的左矩陣分數表示中「分母」的領先係數可以選擇為單位矩陣。同樣的問題也出現在 Brockwell 和 Schlemm (2013) 中定理 3.2 的證明中，該證明引用了 Kailath (1980) 的引理 6.3-8，該引理也沒有證明「分母」中的領先係數可以取為單位矩陣。

主要結果

為了修正這些錯誤，本文證明了任何 Lévy 驅動的線性狀態空間模型都可以用觀察者和控制器規範形式表示。此外，論文還證明了其轉移函數始終具有左右矩陣分數表示，其中「分母」以單位矩陣作為領先係數。

推論

這些結果修正了 Schlemm 和 Stelzer (2012b) 中的推論 3.4 以及 Brockwell 和 Schlemm (2013) 中的定理 3.2。因此，Lévy 驅動的 MCARMA 過程類別與 Lévy 驅動的線性狀態空間模型類別之間的等價性仍然成立。

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Citações

Principais Insights Extraídos De

Correction to: Multivariate CARMA processes, continuous-time state space models and complete regularity of the innovations of the sampled processes, Bernoulli 18, pp. 46-63, 2012

by Robert Stelz... às arxiv.org 11-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.06935.pdf

Perguntas Mais Profundas

這項修正對於多變量 CARMA 過程在實際應用中的影響是什麼？

這項修正對於多變量 CARMA 過程在實際應用中具有至關重要的影響。主要影響體現在以下幾個方面：

模型識別性: 修正確保了多變量 CARMA 過程與線性狀態空間模型之間的等價性。這種等價性是至關重要的，因為它允許我們利用狀態空間模型的規範形式（例如 echelon 形式）來確保模型的識別性。模型識別性是進行統計推斷的基礎，沒有它，我們就無法從數據中得到可靠的參數估計和模型預測。
統計推斷的有效性: 許多現有的多變量 CARMA 過程的統計推斷方法，例如 Fasen and Kimmig (2017); Fasen-Hartmann and Kimmig (2020); Fasen-Hartmann and Mayer (2022); Fasen-Hartmann and Scholz (2019); Schlemm and Stelzer (2012a) 等，都建立在狀態空間模型與 MCARMA 過程等價的基礎之上。這項修正消除了先前證明中的缺陷，從而確保了這些統計推斷方法的有效性。
模型的靈活性: 修正證實了任何 MCARMA 過程和線性狀態空間模型都具有控制器和觀察器規範表示形式，並且其传递函数都具有左右矩阵分式表示形式。這為模型建立提供了更大的靈活性，可以根據實際問題選擇更方便的模型形式。

總之，這項修正消除了多變量 CARMA 過程理論中的一個重要缺陷，確保了模型識別性和統計推斷的有效性，並提高了模型的靈活性，對於多變量 CARMA 過程在實際應用中的推廣和應用具有重要意義。

是否存在其他類型的時間序列模型可以從類似的修正中受益？

是的，除了多變量 CARMA 過程之外，其他一些時間序列模型也可以從類似的修正中受益。特別是那些依赖于状态空间表示和传递函数矩阵分式表示的模型。例如：

多變量 ARMA (MARMA) 過程: MARMA 過程可以視為 MCARMA 過程的離散時間版本。因此，MCARMA 過程中關於狀態空間表示和传递函数的修正也適用於 MARMA 過程。
多變量 GARCH (MGARCH) 過程: 一些 MGARCH 模型，例如 VEC-GARCH 和 BEKK-GARCH 模型，可以使用狀態空間模型來表示。因此，這項修正也可能對這些模型的識別性和推斷產生影響。
線性動態因子模型: 線性動態因子模型通常使用狀態空間模型來建模多個時間序列之間的動態關係。因此，這項修正也可能對這些模型的分析產生影響。
總之，任何依赖于状态空间表示和传递函数矩阵分式表示的时间序列模型都可能從類似的修正中受益。

如何將這些數學結果應用於金融、工程或其他領域的具體問題？

這些數學結果，特別是關於多變量 CARMA 過程的修正，可以在金融、工程和其他領域的各種具體問題中得到應用。以下是一些例子：
金融领域:

多资产价格建模: MCARMA 过程可以用来建模多个资产价格的动态变化，例如股票、债券、汇率等。修正后的模型可以更准确地捕捉资产价格之间的相关性和波动性，从而提高投资组合优化和风险管理的效率。
高频交易: 在高频交易中，需要对市场微观结构进行精确建模。MCARMA 过程可以用来描述订单到达、价格变化和交易量等高频数据的动态特征，从而帮助交易者制定更优的交易策略。
系统性风险度量: MCARMA 过程可以用来分析金融系统中不同机构之间的相互依存关系，从而更准确地度量系统性风险。
工程领域:

信号处理: MCARMA 过程可以用来对多通道信号进行建模，例如音频信号、图像信号和雷达信号等。修正后的模型可以更准确地提取信号特征，从而提高信号检测、估计和滤波的性能。
控制系统: MCARMA 过程可以用来描述多输入多输出 (MIMO) 控制系统的动态行为。修正后的模型可以更准确地预测系统的响应，从而设计更优的控制器。
系统识别: MCARMA 过程可以用来识别多变量系统的传递函数。修正后的模型可以更准确地估计系统的参数，从而更好地理解系统的动态特性。
其他领域:

生物医学信号分析: MCARMA 过程可以用来分析脑电图 (EEG)、心电图 (ECG) 和呼吸信号等多通道生物医学信号。
环境科学: MCARMA 过程可以用来建模多个环境变量之间的动态关系，例如温度、降雨量和污染物浓度等。
经济学: MCARMA 过程可以用来分析多个经济指标之间的动态关系，例如 GDP、通货膨胀率和失业率等。
总而言之，修正后的多變量 CARMA 过程为解决金融、工程和其他领域的各种实际问题提供了更强大、更可靠的工具。