精確解決有界區間上的伯格斯方程式類問題
利用Hopf-Cole變換和線性反應擴散方程式的精確運算解,導出了有界區間上伯格斯方程式的精確時域解。
離散偏差方程式の同一性流れの分析
本論文では、偏差方程式の可積分性を偏微分方程式の可積分性に基づいて分析する新しい手法である「同一性流れ法」を提案し、離散q-KdV方程式がq-KdV階層の離散対称性であることを示した。さらに、この同一性流れとその擬三値性変換を用いて、離散q-KdV方程式の連続対称性と双ハミルトン構造を直接導出する方法を示した。
PINNの派生的な欠陥を超えて: 収束解析を伴う変数分割戦略
PINNsは、損失関数を最小化しても必ずしも偏微分方程式の解に収束しないという根本的な問題を抱えている。この問題は、予測解の微分の振る舞いを適切に制御できないことに起因する。そこで、主変数と補助変数を導入する変数分割戦略を提案し、二次線形偏微分方程式の一般化解への収束を証明する。
物理情報ニューラルネットワークを強化するための対称群に基づくドメイン分割
対称群に基づくドメイン分割を用いることで、物理情報ニューラルネットワークの精度と効率を大幅に向上させることができる。
目的指向型事後誤差制御と適応性: 偏微分方程式への適用
本研究では、定常および非定常偏微分方程式の有限要素近似に対する目的指向型事後誤差制御、適応性、およびソルバー制御を概説する。特に、異なる物理を有する結合フィールド問題では、複数の関心量の正確な評価が同時に必要とされ、これは多目的指向型誤差制御によって達成される。感度尺度は、随伴問題を解くことによって得られる。誤差の局所化は、分割統一の助けを借りて達成される。効率性と信頼性に関する理論的結果も、飽和仮定を用いて拡張される。得られた適応アルゴリズムにより、離散化誤差と非線形反復誤差のバランスを取ることができ、4つの応用例で実証される。
マスクオートエンコーダーは偏微分方程式の学習者である
マスクプリトレーニングを通して、オートエンコーダーは偏微分方程式の多様な動力学を学習することができる。これにより、未知の方程式に対する係数回帰や時間ステップ予測の性能が向上する。